Simplifique a expressão.
a) \sqrt[4]{x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \sqrt[4]{x^{4}}. A única informação dada é essa expressão; não há restrição explícita sobre x (logo devemos tratar o caso geral, com x real). A pergunta é: qual expressão mais simples e correta, válida para todo x real, representa \sqrt[4]{x^{4}}?

Passo 2

Vou lembrar (de forma direta e intuitiva) o que significa \sqrt[4]{\cdot}: a raíz quarta principal de um número real não negativo é o número não negativo cuja quarta potência retorna o número original. Em outras palavras, para todo a\ge 0 vale
\sqrt[4]{a^4}=a.
Mas atenção: se aplicarmos isso a a=x sem olhar o sinal de x, podemos errar quando x<0. Por isso precisamos analisar os sinais.

Passo 3

Análise por casos. Primeiro, suponha que x\ge 0. Então x^{4}\ge 0 e a raíz quarta principal de x^4 é o próprio x, isto é
\text{se }x\ge 0:\qquad \sqrt[4]{x^{4}}=x.
Aqui não há surpresa: número não negativo elevado à quarta e depois tirado a raíz quarta volta ao mesmo número não negativo.

Passo 4

Agora suponha que x<0. Escreva x=-t com t>0. Então
\sqrt[4]{x^{4}}=\sqrt[4]{(-t)^{4}}=\sqrt[4]{t^{4}}=t.
Mas como t=-x (porque x=-t), temos
\sqrt[4]{x^{4}}=-x\quad\text{quando }x<0.

Passo 5

Juntando os dois casos: se x\ge 0 o valor é x, e se x<0 o valor é -x. Isso é exatamente a definição do valor absoluto. Portanto, para todo x real vale
\sqrt[4]{x^{4}}=|x|.
Exemplos rápidos para conferir: \sqrt[4]{3^{4}}=\sqrt[4]{81}=3=|3| e \sqrt[4]{(-2)^{4}}=\sqrt[4]{16}=2=|-2|.

Resposta

|x|

Exercícios relacionados