Simplifique as expressões abaixo.
\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{y^{3}}}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede: está dada a expressão
\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{y^{3}}}
e o pedido é simplificá‑la. Observações sobre domínio (importante ao simplificar raízes):
  • A raiz quadrada \sqrt{\,\cdot\,} só é real para argumentos \ge 0. Portanto, para a expressão ser real, é necessário que y\ge 0.
  • A raiz cúbica \sqrt[3]{\,\cdot\,} é definida para todo x\in\mathbb{R}.
    Agora vamos simplificar passo a passo.

Passo 2

Transformar radicais em potências racionais — regra básica e muito útil:
  • A raiz n-ésima transforma‑se em potência 1/n. Assim,
\sqrt[3]{x^{2}} = x^{2/3} \qquad\text{e}\qquad \sqrt{y^{3}} = (y^{3})^{1/2}.
Essa mudança facilita usar as regras de potências (produto, quociente, potência de potência).

Passo 3

Aplicar a regra “potência de potência”: (a^{m})^{n}=a^{mn}. Para o denominador:
(y^{3})^{1/2}=y^{3\cdot(1/2)}=y^{3/2}.
Portanto a expressão vira
\frac{x^{2/3}}{y^{3/2}}.

Passo 4

Explicar como manipular potências com expoentes racionais. Duas formas úteis de ver y^{3/2}:
  • Como produto de uma parte inteira e uma parte fracionária:
y^{3/2}=y^{1+\tfrac{1}{2}}=y\cdot y^{1/2}=y\sqrt{y}.
Isso usa a regra a^{p+q}=a^{p}a^{q}.

Passo 5

Reescrever o numerador de forma alternativa, para visualizar melhor:
x^{2/3}=(x^{1/3})^{2}=(\sqrt[3]{x})^{2}=\sqrt[3]{x^{2}}.
As três notações são equivalentes; escolha a que for mais conveniente na prova.

Passo 6

Substituir y^{3/2}=y\sqrt{y} na expressão obtida no Passo 3:
\frac{x^{2/3}}{y^{3/2}}=\frac{(\sqrt[3]{x})^{2}}{y\sqrt{y}}.
Esta é uma forma mais explícita, sem expoentes racionais misturados, e válida para y\ge 0.

Passo 7

Resumo didático (como fazer rápido na prova):
  • Converter radicais em potências fracionárias;
  • Usar (a^{m})^{n}=a^{mn} e a^{p+q}=a^{p}a^{q};
  • Voltar para notação de radicais se preferir apresentar a resposta nesse formato.
    Aplicando isso aqui levou exatamente a
\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{y^{3}}}=\frac{(\sqrt[3]{x})^{2}}{y\sqrt{y}},\quad\text{com }y\ge 0.

Resposta

\dfrac{(\sqrt[3]{x})^{2}}{y\sqrt{y}}

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