Resolva as equações:
|5 x-10|=|8 x-5|

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação |5x-10| = |8x-5|, ou seja, encontrar todos os números reais x que tornam verdade essa igualdade entre valores absolutos.
Informações dadas:
  • Temos duas expressões lineares dentro de valor absoluto: 5x-10 e 8x-5.
  • A incógnita é x e buscamos todas as soluções reais.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto de forma simples e prática: para qualquer número real y\), \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y \ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y < 0. \end{cases}
Uma propriedade muito útil é: para quaisquer expressões A\] e \(B,
|A| = |B| \quad\Longleftrightarrow\quad A = B \quad\text{ou}\quad A = -B.
Explicação curta do porquê: se duas quantidades têm a mesma distância ao zero, então ou são iguais ou são opostas; formalmente pode-se também elevar ao quadrado e usar A^2=B^2, que dá as duas possibilidades A=B ou A=-B.
Vamos aplicar essa propriedade com A = 5x-10 e B = 8x-5.]

Passo 3

Primeira possibilidade: igualar as expressões (caso A=B).
5x-10 = 8x-5.
Agora resolvemos essa equação linear passo a passo:
5x-10 = 8x-5
subtrair 8x dos dois lados:
5x-8x-10 = -5
agrupar termos semelhantes:
-3x-10 = -5
somar 10 aos dois lados:
-3x = 5
dividir por -3:
x = -\dfrac{5}{3}.

Passo 4

Segunda possibilidade: igualar A ao oposto de B (caso A=-B).
5x-10 = -(8x-5).
Desenvolvendo o lado direito e resolvendo:
5x-10 = -8x+5
somar 8x aos dois lados:
5x+8x-10 = 5
13x-10 = 5
somar 10 aos dois lados:
13x = 15
dividir por 13:
x = \dfrac{15}{13}.

Passo 5

Verificação (substituir as soluções encontradas na equação original para confirmar):
Para x = -\dfrac{5}{3}:
5x-10 = 5\!\left(-\dfrac{5}{3}\right)-10 = -\dfrac{25}{3}-\dfrac{30}{3} = -\dfrac{55}{3},
|5x-10| = \dfrac{55}{3}.
8x-5 = 8\!\left(-\dfrac{5}{3}\right)-5 = -\dfrac{40}{3}-\dfrac{15}{3} = -\dfrac{55}{3},
|8x-5| = \dfrac{55}{3}.
Como |5x-10| = |8x-5| = \dfrac{55}{3}, a primeira solução está correta.
Para x = \dfrac{15}{13}:
5x-10 = 5\!\left(\dfrac{15}{13}\right)-10 = \dfrac{75}{13}-\dfrac{130}{13} = -\dfrac{55}{13},
|5x-10| = \dfrac{55}{13}.
8x-5 = 8\!\left(\dfrac{15}{13}\right)-5 = \dfrac{120}{13}-\dfrac{65}{13} = \dfrac{55}{13},
|8x-5| = \dfrac{55}{13}.
Como |5x-10| = |8x-5| = \dfrac{55}{13}, a segunda solução também está correta.

Resposta

x=-\dfrac{5}{3}
x=\dfrac{15}{13}

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