Simplifique as expressões abaixo.
\frac{x^{2} y}{|x|}

Passo 1

O enunciado dá a expressão a ser simplificada:
\frac{x^{2}y}{|x|}
A tarefa é simplificar essa expressão algébrica, indicando qualquer condição sobre x necessária (por exemplo, quando alguma operação não é permitida).

Passo 2

Lembrar a definição e uma propriedade útil do valor absoluto:
|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -\,x, & \text{se } x<0, \end{cases}
e a propriedade importante
|x|^{2} = x^{2}
para todo x. Essa última vem do fato de que |x| é sempre não negativo, então elevando ao quadrado dá o mesmo que x^{2}.]

Passo 3

Usando |x|^{2}=x^{2}, rewrite o numerador:
x^{2} = |x|^{2}.
Portanto, para valores de x tal que o denominador não seja zero (ou seja, x\neq 0), pode-se simplificar:
\frac{x^{2}y}{|x|} = \frac{|x|^{2}y}{|x|}.

Passo 4

Cancelar um fator |x| no numerador e no denominador é permitido apenas se |x|\neq 0. Como |x|=0 exatamente quando x=0, a simplificação é válida para x\neq 0:
\frac{|x|^{2}y}{|x|} = |x|\,y,\qquad \text{para } x\neq 0.

Passo 5

Dar a forma peça a peça (útil para entender o sinal):
  • Se x>0, então |x|=x e a expressão simplificada vale |x|\,y = x y.
  • Se x<0, então |x|=-x e a expressão simplificada vale |x|\,y = (-x)\,y = -x y.
  • Se x=0, a expressão original tem forma \tfrac{0\cdot y}{0}, que é indefinida (divisão por zero). Logo a expressão não está definida em x=0.
Exemplos numéricos rápidos: para x=3, y=2 tem-se \tfrac{3^{2}\cdot2}{|3|}= \tfrac{18}{3}=6 e |3|\cdot2=6. Para x=-3, y=2 tem-se \tfrac{(-3)^{2}\cdot2}{|{-3}|}=\tfrac{18}{3}=6 e |{-3}|\cdot2=3\cdot2=6. Em x=0 não dá para calcular.

Resposta

|x|\,y,\quad x\neq 0

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