Simplifique as expressões abaixo:
\frac{3(x+1)-2 x(5 x-1)}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{3(x+1)-2 x(5 x-1)}{x+1}.
Informações dadas:
  • Numerador igual a 3(x+1)-2x(5x-1).
  • Denominador igual a x+1.
    A tarefa é manipular algebricamente essa fração e apresentá‑la numa forma mais simples (cancelar fatores se possível, ou escrever como polinômio mais uma fração própria).

Passo 2

Primeiro passo prático: desenvolver as multiplicações no numerador, isto é aplicar a propriedade distributiva (ou “multiplicar para dentro dos parênteses”). A regra é: a(b+c)=ab+ac e a(b-c)=ab-ac. Aplicando:
3(x+1)=3x+3,
-2x(5x-1) = -2x\cdot5x + (-2x)\cdot(-1) = -10x^{2}+2x.

Passo 3

Agora somamos as duas parcelas do numerador (somamos termos semelhantes). Escrevendo o numerador já desenvolvido:
3(x+1)-2x(5x-1) = (3x+3)+(-10x^{2}+2x).
Agrupando por potências de x (termos semelhantes):
-10x^{2} + (3x+2x) + 3 = -10x^{2} + 5x + 3.
Portanto a expressão fica
\frac{-10x^{2}+5x+3}{x+1}.

Passo 4

Verificar se dá para cancelar o fator x+1. Para cancelar, o numerador precisaria ter um fator (x+1). Uma maneira rápida de testar se (x+1) é fator do polinômio p(x)=-10x^{2}+5x+3 é usar o Teorema do Resto: o resto da divisão de p(x) por x+1 é p(-1). Se p(-1)=0, então (x+1) é fator; caso contrário, não é.
Calcule p(-1):
p(-1) = -10(-1)^{2} + 5(-1) + 3 = -10 -5 +3 = -12 \neq 0.
Como p(-1)=-12, concluímos que (x+1) NÃO é fator do numerador. Portanto não há cancelamento direto.

Passo 5

Quando não há cancelamento, uma forma conveniente de “simplificar” é fazer a divisão do polinômio do numerador pelo polinômio do denominador e escrever a fração como um polinômio (quociente) mais um resto sobre o divisor. Ou seja:
\frac{-10x^{2}+5x+3}{x+1} = Q(x) + \frac{R}{x+1},
onde Q(x) é o quociente e R é o resto da divisão. Vamos dividir usando a divisão sintética (mais rápida quando o divisor é do tipo x-c; aqui x+1=x-(-1), então c=-1).
Coeficientes do numerador: -10,\\\ 5,\\\ 3.
Sinteticamente com c=-1:
  • Trago -10 como primeiro coeficiente do quociente.
  • Multiplico -10 por -1 e adiciono ao próximo coeficiente: -10\cdot(-1)=10;\\\ 5+10=15.
  • Multiplico 15 por -1 e adiciono ao próximo coeficiente: 15\cdot(-1)=-15;\\\ 3+(-15)=-12.
Assim o quociente tem coeficientes -10 (para x) e 15 (termo constante), e o resto é -12. Ou seja:
\frac{-10x^{2}+5x+3}{x+1} = -10x+15 + \frac{-12}{x+1}.

Passo 6

Simplificar sinais finais: escrever a fração do resto com sinal mais habitual:
-10x+15 + \frac{-12}{x+1} = -10x+15 - \frac{12}{x+1}.
Essa é a forma polinômio mais fração própria, útil para avaliar comportamento assintótico e para cálculo sem cancelamento.

Resposta

-10x+15-\dfrac{12}{x+1}

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