Simplifique as expressões abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações dadas:
- Numerador igual a
. - Denominador igual a
.
A tarefa é manipular algebricamente essa fração e apresentá‑la numa forma mais simples (cancelar fatores se possível, ou escrever como polinômio mais uma fração própria).
Passo 2
Primeiro passo prático: desenvolver as multiplicações no numerador, isto é aplicar a propriedade distributiva (ou “multiplicar para dentro dos parênteses”). A regra é:
e
. Aplicando:
Passo 3
Agora somamos as duas parcelas do numerador (somamos termos semelhantes). Escrevendo o numerador já desenvolvido:
Agrupando por potências de
(termos semelhantes):
Portanto a expressão fica
Passo 4
Verificar se dá para cancelar o fator
. Para cancelar, o numerador precisaria ter um fator
. Uma maneira rápida de testar se
é fator do polinômio
é usar o Teorema do Resto: o resto da divisão de
por
é
. Se
, então
é fator; caso contrário, não é.
Calcule
:
Como
, concluímos que
NÃO é fator do numerador. Portanto não há cancelamento direto.
Passo 5
Quando não há cancelamento, uma forma conveniente de “simplificar” é fazer a divisão do polinômio do numerador pelo polinômio do denominador e escrever a fração como um polinômio (quociente) mais um resto sobre o divisor. Ou seja:
onde
é o quociente e
é o resto da divisão. Vamos dividir usando a divisão sintética (mais rápida quando o divisor é do tipo
; aqui
, então
).
Coeficientes do numerador:
.
Sinteticamente com :
Sinteticamente com
- Trago
como primeiro coeficiente do quociente. - Multiplico
por e adiciono ao próximo coeficiente: . - Multiplico
por e adiciono ao próximo coeficiente: .
Assim o quociente tem coeficientes
(para
) e
(termo constante), e o resto é
. Ou seja:
Passo 6
Simplificar sinais finais: escrever a fração do resto com sinal mais habitual:
Essa é a forma polinômio mais fração própria, útil para avaliar comportamento assintótico e para cálculo sem cancelamento.