Resolva as equações abaixo:
e^{x} y-15 x y+7 x=2 y-2 x \quad (resolver em \left.y\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação
e^{x} y - 15 x y + 7 x = 2 y - 2 x
e pede para resolver essa equação em y. Ou seja, encontrar y expresso em função de x.
Informações relevantes: todos os termos que envolvem y são lineares em y (não há y^{2}, senos, etc.), então vamos tratar y como uma incógnita numa equação linear cujos coeficientes dependem de x.

Passo 2

Primeiro vamos reunir todos os termos que contêm y de um lado e os termos sem y do outro lado. Subtraindo 2y de ambos os lados e subtraindo 7x de ambos os lados, obtemos
e^{x} y - 15 x y - 2 y = -2 x - 7 x.

Passo 3

No lado esquerdo todos os termos têm y em fator comum, então fatoramos y:
\bigl(e^{x} - 15 x - 2\bigr)\,y = -9 x.
Aqui expliquei: para fatorar, reconhecemos que e^{x} y, -15xy e -2y têm y em comum; somando os coeficientes que multiplicam y obtemos e^{x}-15x-2.

Passo 4

Agora isolamos y dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica y. Isso é permitido desde que essa expressão não seja zero. Assim:
y = \frac{-9 x}{e^{x} - 15 x - 2},\qquad \text{desde que } e^{x} - 15 x - 2 \neq 0.
Explicação didática: numa equação linear A(x)\,y = B(x) (onde A(x) e B(x) dependem de x), a solução é y = B(x)/A(x) desde que A(x)\neq0. Se A(x)=0 precisamos tratar o caso separadamente (pode ser indeterminado ou impossível).

Passo 5

Tratar o caso em que o denominador é zero. Se existir x tal que
e^{x} - 15 x - 2 = 0,
então não podemos dividir por essa quantidade. Nesses x devemos verificar se o numerador também é zero:
  • O numerador é -9x. Ele é zero somente quando x=0.
  • Calcule e^{0}-15\cdot0-2 = 1-0-2 = -1 \neq 0. Logo em x=0 o denominador não é zero; portanto não há coincidência de numerador e denominador nulos.
    Portanto, para qualquer x que satisfaça e^{x}-15x-2=0 (existe pelo menos uma raiz real, pois e^{4}<15\cdot4+2 e e^{5}>15\cdot5+2, há mudança de sinal), o numerador será diferente de zero e a equação original não terá solução em y (porque seria uma igualdade da forma 0\cdot y = \text{não‑zero}ã, impossível).

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Para x=0 a fórmula dá y = -9\cdot0/(e^{0}-0-2)=0. Substituindo na equação original confirma-se 0=0.
  • Para um x qualquer que não seja raiz de e^{x}-15x-2, basta substituir na fórmula para obter o y correspondente.

Resposta

y = -\dfrac{9x}{e^{x} - 15x - 2},\quad \text{para } e^{x} - 15x - 2 \neq 0.
Se e^{x} - 15x - 2 = 0, então não existe solução em y.

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