Simplifique as expressões algébricas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a seguinte expressão algébrica:
Informações dadas (explicitadas):
- A expressão inteira é uma divisão entre duas frações algébricas.
- As variáveis presentes são
, e . - Não foram dadas restrições numéricas sobre
, ou ; portanto, ao simplificar devemos anotar as condições de existência (valores proibidos que fariam denominadores zero ou cancelações inválidas).
Passo 2
Vamos analisar e simplificar a primeira fração
Primeiro passo: fatorar termos semelhantes no numerador e no denominador.
No numerador
podemos agrupar termos com
:
Fatorei
em evidência:
No denominador
fatoramos
ou fatoramos
:
Passo 3
Agora substituímos as fatorações na primeira fração:
Como fator comum
aparece no numerador e no denominador, podemos cancelar
desde que
(ou seja,
). Após cancelar obtemos:
Posso escrever também como
, pois
.
Passo 4
Agora simplificamos a segunda fração
Reconhecemos no numerador uma diferença de quadrados:
.
No denominador podemos fatorar
em evidência:
No denominador
Passo 5
Substituindo as fatorações na segunda fração:
Novamente há um fator comum
que pode ser cancelado desde que
(ou seja,
). Após cancelar:
Passo 6
Agora voltamos à expressão original, que era a primeira fração dividida pela segunda fração. Substituindo as formas simplificadas que encontramos:
Passo 7
Dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso (recíproco). Mas aqui temos duas frações idênticas. Portanto:
desde que os fatores que cancelamos sejam permitidos (não zero).
Passo 8
Listando as condições necessárias para que todas as operações sejam válidas:
- Não podemos ter denominares zero:
(pois aparece no denominador). - Não podemos ter cancelado
quando ele é zero: . - Não podemos ter cancelado
quando ele é zero: .
Com essas restrições, a expressão simplifica-se exatamente para
.