Simplifique as expressões algébricas abaixo:
\frac{2 a-2 b+a x-b x}{a x-b x} \div \frac{x^{2}-4}{x^{2}-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a seguinte expressão algébrica:
\frac{2 a-2 b+a x-b x}{a x-b x} \div \frac{x^{2}-4}{x^{2}-2 x}.
Informações dadas (explicitadas):
  • A expressão inteira é uma divisão entre duas frações algébricas.
  • As variáveis presentes são a, b e x.
  • Não foram dadas restrições numéricas sobre a, b ou x; portanto, ao simplificar devemos anotar as condições de existência (valores proibidos que fariam denominadores zero ou cancelações inválidas).

Passo 2

Vamos analisar e simplificar a primeira fração
\frac{2 a-2 b+a x-b x}{a x-b x}.
Primeiro passo: fatorar termos semelhantes no numerador e no denominador.
No numerador 2 a-2 b+a x-b x podemos agrupar termos com a-b:
2 a-2 b+a x-b x = 2(a-b) + x(a-b).
Fatorei (a-b) em evidência:
2(a-b) + x(a-b) = (a-b)(2+x).
No denominador a x-b x fatoramos x ou fatoramos (a-b):
a x-b x = x(a-b).

Passo 3

Agora substituímos as fatorações na primeira fração:
\frac{2 a-2 b+a x-b x}{a x-b x} = \frac{(a-b)(2+x)}{x(a-b)}.
Como fator comum (a-b) aparece no numerador e no denominador, podemos cancelar (a-b) desde que (a-b)\neq 0 (ou seja, a\neq b). Após cancelar obtemos:
\frac{(a-b)(2+x)}{x(a-b)} = \frac{2+x}{x}.
Posso escrever também como \dfrac{x+2}{x}, pois 2+x = x+2.

Passo 4

Agora simplificamos a segunda fração
\frac{x^{2}-4}{x^{2}-2 x}.
Reconhecemos no numerador uma diferença de quadrados: x^{2}-4 = (x-2)(x+2).
No denominador x^{2}-2x podemos fatorar x em evidência:
x^{2}-2x = x(x-2).

Passo 5

Substituindo as fatorações na segunda fração:
\frac{x^{2}-4}{x^{2}-2 x} = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}.
Novamente há um fator comum (x-2) que pode ser cancelado desde que x-2\neq 0 (ou seja, x\neq 2). Após cancelar:
\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)} = \frac{x+2}{x}.

Passo 6

Agora voltamos à expressão original, que era a primeira fração dividida pela segunda fração. Substituindo as formas simplificadas que encontramos:
\frac{2 a-2 b+a x-b x}{a x-b x} \div \frac{x^{2}-4}{x^{2}-2 x} = \frac{\dfrac{x+2}{x}}{\dfrac{x+2}{x}}.

Passo 7

Dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso (recíproco). Mas aqui temos duas frações idênticas. Portanto:
\frac{\dfrac{x+2}{x}}{\dfrac{x+2}{x}} = \frac{x+2}{x} \cdot \frac{x}{x+2} = 1,
desde que os fatores que cancelamos sejam permitidos (não zero).

Passo 8

Listando as condições necessárias para que todas as operações sejam válidas:
  • Não podemos ter denominares zero: x\neq 0 (pois aparece x no denominador).
  • Não podemos ter cancelado (a-b) quando ele é zero: a\neq b.
  • Não podemos ter cancelado (x-2) quando ele é zero: x\neq 2.
Com essas restrições, a expressão simplifica-se exatamente para 1.

Resposta

1, para x\neq 0,\;x\neq 2 e a\neq b

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