Simplifique as expressões algébricas abaixo:
\frac{2 x^{2}+(x+y)(x-y)-2 y^{2}}{2 x^{2}-2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional abaixo:
\frac{2 x^{2}+(x+y)(x-y)-2 y^{2}}{2 x^{2}-2 y^{2}}.
O que é pedido: obter uma forma mais simples (reduzida) da fração algébrica acima. Informações dadas:
  • A expressão do numerador é 2 x^{2}+(x+y)(x-y)-2 y^{2}.
  • A expressão do denominador é 2 x^{2}-2 y^{2}.

Passo 2

Observação útil (identidade algébrica que vamos usar). A multiplicação de soma e diferença é a diferença de quadrados:
(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}.
Explico rapidamente: ao multiplicar, os termos cruzados +xy e -xy se cancelam, restando x^{2}-y^{2}.

Passo 3

Aplicando essa identidade no numerador, substituímos (x+y)(x-y) por x^{2}-y^{2}. Assim o numerador vira:
2 x^{2} + (x^{2}-y^{2}) - 2 y^{2}.

Passo 4

Agora somamos os termos semelhantes do numerador passo a passo. Agrupando os termos em x^{2} e em y^{2}:
2 x^{2} + x^{2} = 3 x^{2}, \qquad - y^{2} - 2 y^{2} = -3 y^{2}.
Portanto o numerador simplifica para
3 x^{2} - 3 y^{2}.

Passo 5

Fatore o 3 em evidência no numerador:
3 x^{2} - 3 y^{2} = 3\,(x^{2}-y^{2}).
Isso deixa o numerador escrito como um produto, o que facilita o cancelamento depois.

Passo 6

Fatore também o denominador, tirando fator comum 2:
2 x^{2} - 2 y^{2} = 2\,(x^{2}-y^{2}).

Passo 7

Agora a fração tem a forma
\frac{3\,(x^{2}-y^{2})}{2\,(x^{2}-y^{2})}.
Como x^{2}-y^{2} aparece multiplicando em cima e embaixo, podemos simplificar (cancelar) esse fator comum, desde que ele não seja zero. Ou seja, a simplificação é válida para os pares (x,y) tais que
x^{2}-y^{2}\neq 0 \quad\text{(isto é, }x\neq y\text{ e }x\neq -y\text{)}.é
Cancelando, sobra
\frac{3}{2}.

Passo 8

Teste numérico rápido (checagem): escolha (x,y)=(3,1). Calculando a expressão original:
\text{numerador}=2\cdot 3^{2}+(3+1)(3-1)-2\cdot 1^{2}=18+4\cdot2-2=18+8-2=24,
\text{denominador}=2\cdot 3^{2}-2\cdot 1^{2}=18-2=16,
\frac{24}{16}=\frac{3}{2}.
Confere com o resultado obtido.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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