Simplifique as expressões algébricas abaixo:
\frac{2 y^{2}+9 y-5}{y^{2}-25} \cdot \frac{y-5}{2 y^{2}-y}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{2 y^{2}+9 y-5}{y^{2}-25} \cdot \frac{y-5}{2 y^{2}-y}.
Informações dadas (explicitadas):
  • Numerador do primeiro fator: \,2y^{2}+9y-5.
  • Denominador do primeiro fator: \,y^{2}-25.
  • Numerador do segundo fator: \,y-5.
  • Denominador do segundo fator: \,2y^{2}-y.
  • A expressão é uma multiplicação de frações algébricas (ou seja, podemos fatorar polinômios e cancelar fatores comuns, desde que não sejam zero).

Passo 2

Vamos fatorar o polinômio do numerador \,2y^{2}+9y-5. Técnica: procurar dois números cujo produto seja a\cdot c (onde a é o coeficiente de y^{2} e c o termo independente) e cuja soma seja b (coeficiente de y).
Aqui a=2, b=9, c=-5. Então
a\cdot c = 2\cdot(-5) = -10.
Precisamos de dois números que multiplicados dão -10 e somados dão 9. Esses números são 10 e -1. Usamos isso para decompor o termo do meio:
2y^{2}+9y-5 = 2y^{2}+10y - y -5.
Agora fazemos agrupamento:
2y^{2}+10y - y -5 = 2y(y+5) -1(y+5).
Fator comum (y+5):
2y^{2}+9y-5 = (2y-1)(y+5).

Passo 3

Fatorar o denominador do primeiro fator: \,y^{2}-25 é uma diferença de quadrados. Regra: \,a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui y^{2}-25=(y-5)(y+5).

Passo 4

Fatorar o denominador do segundo fator: \,2y^{2}-y. Extraímos o fator comum y:
2y^{2}-y = y(2y-1).

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original, temos
\frac{(2y-1)(y+5)}{(y-5)(y+5)}\cdot \frac{y-5}{y(2y-1)}.
Agora identificamos fatores idênticos que aparecem tanto em numerador quanto em denominador e que podem ser cancelados (desde que não sejam zero):
  • O fator (y+5) aparece em numerador do primeiro e denominador do primeiro → cancela.
  • O fator (y-5) aparece em denominador do primeiro e numerador do segundo → cancela.
  • O fator (2y-1) aparece em numerador do primeiro e denominador do segundo → cancela.
Após cancelar todos esses fatores, sobra
\frac{1}{y}.
Explicação sobre cancelamento: só é permitido cancelar fatores inteiros (ou seja, polinômios) que aparecem multiplicando numerador e denominador. Isso equivale a dividir numerador e denominador pelo mesmo fator não nulo. Portanto, é crucial lembrar que os valores de y que tornam qualquer denominador inicial igual a zero são proibidos na expressão original — esses valores não entram no domínio da expressão simplificada.

Passo 6

Determinar os valores proibidos (domínio original): os denominadores iniciais são (y-5)(y+5) e y(2y-1). Eles se anulam para
y=5,\quad y=-5,\quad y=0,\quad y=\tfrac{1}{2}.
Assim, mesmo que a forma simplificada seja \dfrac{1}{y}, devemos manter a restrição de que y não pode assumir esses valores. Em particular y\neq 0 (para evitar divisão por zero) e y\neq \pm5,\tfrac{1}{2} (para respeitar os denominadores originais).
Exemplo rápido para fixar a ideia: se tivéssemos \dfrac{(x-2)(x+3)}{(x+3)(x+5)}, poderíamos cancelar (x+3) e obter \dfrac{x-2}{x+5}, mas com a restrição x\neq -3 (mesmo que a nova forma não mostre esse fator).

Resposta

\dfrac{1}{y},\\ y\neq -5,\\\ 5,\\\ 0,\\ \tfrac{1}{2}

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