Simplifique as expressões algébricas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações dadas (explicitadas):
- Numerador do primeiro fator:
. - Denominador do primeiro fator:
. - Numerador do segundo fator:
. - Denominador do segundo fator:
. - A expressão é uma multiplicação de frações algébricas (ou seja, podemos fatorar polinômios e cancelar fatores comuns, desde que não sejam zero).
Passo 2
Vamos fatorar o polinômio do numerador
. Técnica: procurar dois números cujo produto seja
(onde
é o coeficiente de
e
o termo independente) e cuja soma seja
(coeficiente de
).
Aqui
,
,
. Então
Precisamos de dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Usamos isso para decompor o termo do meio:
Agora fazemos agrupamento:
Fator comum
:
Passo 3
Fatorar o denominador do primeiro fator:
é uma diferença de quadrados. Regra:
.
Aqui .
Aqui
Passo 4
Fatorar o denominador do segundo fator:
. Extraímos o fator comum
:
Passo 5
Substituindo as fatorações na expressão original, temos
Agora identificamos fatores idênticos que aparecem tanto em numerador quanto em denominador e que podem ser cancelados (desde que não sejam zero):
- O fator
aparece em numerador do primeiro e denominador do primeiro → cancela. - O fator
aparece em denominador do primeiro e numerador do segundo → cancela. - O fator
aparece em numerador do primeiro e denominador do segundo → cancela.
Após cancelar todos esses fatores, sobra
Explicação sobre cancelamento: só é permitido cancelar fatores inteiros (ou seja, polinômios) que aparecem multiplicando numerador e denominador. Isso equivale a dividir numerador e denominador pelo mesmo fator não nulo. Portanto, é crucial lembrar que os valores de
que tornam qualquer denominador inicial igual a zero são proibidos na expressão original — esses valores não entram no domínio da expressão simplificada.
Passo 6
Determinar os valores proibidos (domínio original): os denominadores iniciais são
e
. Eles se anulam para
Assim, mesmo que a forma simplificada seja
, devemos manter a restrição de que
não pode assumir esses valores. Em particular
(para evitar divisão por zero) e
(para respeitar os denominadores originais).
Exemplo rápido para fixar a ideia: se tivéssemos
, poderíamos cancelar
e obter
, mas com a restrição
(mesmo que a nova forma não mostre esse fator).