Simplifique as expressōes convertendo as raízes em potências. Elimine expoentes negativos, caso existam, e racionalize os denominadores. Se necessário, suponha que as variáveis são números positivos e que os denominadores sāo nāo nulos.
\frac{\sqrt{3^{3}}}{\sqrt[3]{3^{4}}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, convertendo raízes em potências, eliminando expoentes negativos se houver e racionalizando denominadores quando necessário. A expressão dada é:
\frac{\sqrt{3^{3}}}{\sqrt[3]{3^{4}}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Numerador: \sqrt{3^{3}}.
  • Denominador: \sqrt[3]{3^{4}}.
  • Supor que a variável (aqui o número 3) é positiva e que denominadores não são nulos (condições já satisfeitas).

Passo 2

Converter as raízes em potências. Regra: a raiz n-ésima de a^{m} corresponde a (a^{m})^{1/n}=a^{m\cdot(1/n)}.
Aplicando ao numerador ( \sqrt{\\ } é raiz quadrada, n=2):
\sqrt{3^{3}}=(3^{3})^{1/2}=3^{3\cdot\frac{1}{2}}=3^{3/2}.
Aplicando ao denominador (raiz cúbica, n=3):
\sqrt[3]{3^{4}}=(3^{4})^{1/3}=3^{4\cdot\frac{1}{3}}=3^{4/3}.
Agora a expressão vira:
\frac{3^{3/2}}{3^{4/3}}.

Passo 3

Usar regras de potências com mesma base. Regra importante: para a\neq0,
\frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}.
Aqui a base é 3, portanto basta subtrair os expoentes p=\tfrac{3}{2} e q=\tfrac{4}{3}.

Passo 4

Calcular a diferença dos expoentes. Para subtrair frações, colocar denominador comum:
\frac{3}{2}-\frac{4}{3}=\frac{3\cdot3}{2\cdot3}-\frac{4\cdot2}{3\cdot2}=\frac{9}{6}-\frac{8}{6}=\frac{1}{6}.
Portanto
\frac{3^{3/2}}{3^{4/3}}=3^{\frac{1}{6}}.

Passo 5

Verificar as exigências do enunciado:
  • Expoentes negativos: não apareceram, então não há nada a eliminar.
  • Racionalização de denominador: a forma final 3^{1/6} é um único fator positivo (não há denominador), então não é necessário racionalizar. Se preferir a forma em radical, é equivalente:
3^{1/6}=\sqrt[6]{3}.

Resposta

3^{1/6}

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