Simplifique as expressōes convertendo as raízes em potências. Elimine expoentes negativos, caso existam, e racionalize os denominadores. Se necessário, suponha que as variáveis são números positivos e que os denominadores sāo nāo nulos.
\sqrt[4]{16 x^{6} y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: simplificar a expressão convertendo raízes em potências, eliminar expoentes negativos (se houverem) e racionalizar denominadores (se necessário). A expressão dada é \sqrt[4]{16 x^{6} y^{2}}. Suponha que as variáveis são números positivos e os denominadores são não nulos.

Passo 2

Converter a raiz para potência: a raiz de índice 4 corresponde ao expoente 1/4. Portanto escrevemos
\sqrt[4]{16 x^{6} y^{2}} = (16 x^{6} y^{2})^{1/4}.

Passo 3

Usar a propriedade de potências de um produto: (ab)^m = a^m b^m. Assim podemos distribuir o expoente 1/4 sobre cada fator:
(16 x^{6} y^{2})^{1/4} = 16^{1/4}\,(x^{6})^{1/4}\,(y^{2})^{1/4}.

Passo 4

Simplificar a parte numérica. Como 16 = 2^{4}, então
16^{1/4} = (2^{4})^{1/4} = 2^{4\cdot(1/4)} = 2^{1} = 2.
Explicação breve: se um número é uma potência exata da base 2, a raiz de índice igual ao expoente devolve a base.

Passo 5

Tratar os expoentes das variáveis usando (a^{m})^{n} = a^{mn}. Para x:
(x^{6})^{1/4} = x^{6\cdot(1/4)} = x^{6/4} = x^{3/2}.
Para y:
(y^{2})^{1/4} = y^{2\cdot(1/4)} = y^{2/4} = y^{1/2}.
Observação: simplificou-se a fração 6/4 dividindo numerador e denominador por 2.

Passo 6

Juntando tudo, a expressão fica
\sqrt[4]{16 x^{6} y^{2}} = 2\,x^{3/2}\,y^{1/2}.
Isso já é a forma com raízes convertidas em potências. Não há expoentes negativos a eliminar nem denominador a racionalizar.

Passo 7

Eliminar expoentes fracionários transformando em radicais mais familiares. Lembrando que a^{3/2} = a^{1+1/2} = a\cdot a^{1/2} = a\sqrt{a} e a^{1/2}=\sqrt{a}. Assim:
x^{3/2} = x\sqrt{x},\qquad y^{1/2} = \sqrt{y}.

Passo 8

Substituindo essas formas na expressão do Passo 6:
2\,x^{3/2}\,y^{1/2} = 2\,(x\sqrt{x})\,(\sqrt{y}) = 2x\,\sqrt{x}\,\sqrt{y}.

Passo 9

Combinar as raízes quadradas: \sqrt{x}\,\sqrt{y}=\sqrt{xy} (válido porque x,y são positivos). Portanto a forma final simplificada é
2x\sqrt{xy}.

Resposta

2x\sqrt{xy}

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