Simplifique as expressōes convertendo as raízes em potências. Elimine expoentes negativos, caso existam, e racionalize os denominadores. Se necessário, suponha que as variáveis são números positivos e que os denominadores sāo nāo nulos.
\frac{\sqrt{x^{7}}}{\sqrt{x^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão dada, convertendo raízes em potências, eliminando expoentes negativos (se houverem) e racionalizando o denominador quando necessário. A expressão é
\frac{\sqrt{x^{7}}}{\sqrt{x^{3}}}.
Suponha que x>0 (conforme instrução para, se necessário, assumir variáveis positivas).

Passo 2

Converter raízes quadradas em potências: a raiz quadrada corresponde a expoente \tfrac{1}{2}. Portanto
\sqrt{x^{7}} = x^{\tfrac{7}{2}} \qquad\text{e}\qquad \sqrt{x^{3}} = x^{\tfrac{3}{2}}.

Passo 3

Substituindo na expressão inicial obtemos uma divisão de potências com a mesma base x:
\frac{\sqrt{x^{7}}}{\sqrt{x^{3}}} = \frac{x^{\tfrac{7}{2}}}{x^{\tfrac{3}{2}}}.

Passo 4

Usar a propriedade dos expoentes para divisão: para a\neq0 e quaisquer m,n,
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}.
Aplicando com a=x, m=\tfrac{7}{2} e n=\tfrac{3}{2}:
\frac{x^{\tfrac{7}{2}}}{x^{\tfrac{3}{2}}} = x^{\tfrac{7}{2}-\tfrac{3}{2}}.

Passo 5

Calcular a subtração de expoentes:
\tfrac{7}{2}-\tfrac{3}{2} = \tfrac{4}{2} = 2,
portanto a expressão fica
x^{2}.

Passo 6

Verificação alternativa (intuitiva com radicais): também se pode observar que
\frac{\sqrt{x^{7}}}{\sqrt{x^{3}}} = \sqrt{\frac{x^{7}}{x^{3}}} = \sqrt{x^{4}}.
Em geral \sqrt{x^{4}} = |x^{2}|. Como assumimos x>0, tem-se |x^{2}|=x^{2}, consistente com o resultado obtido via expoentes.

Resposta

x^{2}

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