Simplifique as expressōes convertendo as raízes em potências. Elimine expoentes negativos, caso existam, e racionalize os denominadores. Se necessário, suponha que as variáveis são números positivos e que os denominadores sāo nāo nulos.
\frac{\sqrt{v^{3}}}{\sqrt{v^{5}}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, convertendo raízes em potências, eliminando expoentes negativos (se aparecerem) e racionalizando o denominador se necessário. A expressão dada é
\frac{\sqrt{v^{3}}}{\sqrt{v^{5}}}.
Informações importantes do enunciado que vou usar:
  • Suponha que a variável v é positiva ( v>0), como permitido pelo enunciado.
  • O denominador não é zero (portanto v\neq0).

Passo 2

Converter as raízes em potências: lembre que a raiz quadrada corresponde a expoente \tfrac{1}{2}. Assim:
\sqrt{v^{3}} = v^{\tfrac{3}{2}} \qquad\text{e}\qquad \sqrt{v^{5}} = v^{\tfrac{5}{2}}.
Explicando devagar: a regra é \sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}. Aqui n=2, então m/n=m/2.

Passo 3

Usar a lei dos expoentes para divisão: para potências com mesma base vale
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}.
Aplicando isso com a=v, m=\tfrac{3}{2} e n=\tfrac{5}{2}, obtemos
\frac{v^{\tfrac{3}{2}}}{v^{\tfrac{5}{2}}}=v^{\tfrac{3}{2}-\tfrac{5}{2}}.

Passo 4

Calcular a diferença dos expoentes:
\tfrac{3}{2}-\tfrac{5}{2}=\tfrac{3-5}{2}=\tfrac{-2}{2}=-1.
Portanto a expressão vira
v^{-1}.

Passo 5

Eliminar o expoente negativo: lembre que a^{-1}=\dfrac{1}{a} para a\neq0. Assim,
v^{-1}=\frac{1}{v}.
Isso também satisfaz a condição de racionalização do denominador: já não há raízes no denominador.

Passo 6

Verificação rápida alternativa (opcional, para criar confiança): podemos juntar as raízes antes de simplificar
\frac{\sqrt{v^{3}}}{\sqrt{v^{5}}}=\sqrt{\frac{v^{3}}{v^{5}}}=\sqrt{v^{-2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{v^{2}}\right)}=\frac{1}{v},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{1}{v}

Exercícios relacionados