Simplifique as expressōes convertendo as raízes em potências. Elimine expoentes negativos, caso existam, e racionalize os denominadores. Se necessário, suponha que as variáveis são números positivos e que os denominadores sāo nāo nulos.
\frac{2^{3 / 2}}{(3 x)^{1 / 2}} \sqrt{\frac{27 x}{32}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, convertendo raízes em potências, eliminando expoentes negativos (se aparecerem) e racionalizando denominadores quando necessário. A expressão dada é
\displaystyle \frac{2^{3/2}}{(3x)^{1/2}} \sqrt{\frac{27x}{32}}.
Suponha que x>0 e que os denominadores não sejam zero. Vou transformar as raízes em potências e simplificar passo a passo.

Passo 2

Primeiro escrevo a raiz quadrada como potência de expoente 1/2. Assim:
\frac{2^{3/2}}{(3x)^{1/2}} \sqrt{\frac{27x}{32}} = \frac{2^{3/2}}{(3x)^{1/2}}\left(\frac{27x}{32}\right)^{1/2}.
Também é conveniente escrever o denominador com expoente negativo:
=2^{3/2}\,(3x)^{-1/2}\left(\frac{27x}{32}\right)^{1/2}.

Passo 3

Agora reúno as potências com expoente 1/2 que envolvem x:
(3x)^{-1/2}\left(\frac{27x}{32}\right)^{1/2} = \left(\frac{27x}{32}\right)^{1/2}\!(3x)^{-1/2} = \left(\frac{27x}{32}\cdot\frac{1}{3x}\right)^{1/2}.
Como x>0 posso cancelar x no quociente:
\frac{27x}{32}\cdot\frac{1}{3x}=\frac{27}{96}=\frac{9}{32}.
Logo
(3x)^{-1/2}\left(\frac{27x}{32}\right)^{1/2}=\left(\frac{9}{32}\right)^{1/2}.

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:
2^{3/2}\left(\frac{9}{32}\right)^{1/2}.
Escrevo \left(\dfrac{9}{32}\right)^{1/2}=\dfrac{9^{1/2}}{32^{1/2}}=\dfrac{3}{32^{1/2}}. Então
2^{3/2}\left(\frac{9}{32}\right)^{1/2}=2^{3/2}\cdot\frac{3}{32^{1/2}}=3\cdot\frac{2^{3/2}}{32^{1/2}}.

Passo 5

Expresso 32 como potência de 2: 32=2^5. Assim 32^{1/2}=(2^5)^{1/2}=2^{5/2}. Então
3\cdot\frac{2^{3/2}}{32^{1/2}}=3\cdot\frac{2^{3/2}}{2^{5/2}}.
Uso a regra dos expoentes para dividir potências de mesma base: 2^{3/2}/2^{5/2}=2^{3/2-5/2}=2^{-1}. Portanto
3\cdot\frac{2^{3/2}}{2^{5/2}}=3\cdot 2^{-1}.
Eliminar o expoente negativo dá 2^{-1}=\dfrac{1}{2}, então
3\cdot 2^{-1}=\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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