Simplifique as expressões, eliminando expoentes negativos, caso existam. Sempre que necessário, suponha que o denominador é não nulo.
\left(5 x^{2} y^{3}\right)^{-2}\left(10 x^{3} y^{5}\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão e eliminar expoentes negativos, supondo que denominadores sejam não nulos. A expressão dada é:
\left(5 x^{2} y^{3}\right)^{-2}\left(10 x^{3} y^{5}\right).
O que precisamos entregar: uma forma simplificada sem expoentes negativos (ou seja, escrevendo quaisquer potências negativas como frações).

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do produto com potência: \,(ab)^{n}=a^{n}b^{n}\,. Significa que a potência de um produto é o produto das potências.
  • Regra da potência de potência: \,(a^{m})^{n}=a^{mn}\,. Aplicar uma potência sobre outra multiplica os expoentes.
  • Regra do produto de potências com mesma base: \,a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}\,. Ao multiplicar potências de mesma base, somam-se os expoentes.
  • Regra do expoente negativo: \,a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}\, para a\neq 0. Expoente negativo significa “inverso” da potência positiva.

Passo 3

Aplicar \,(ab)^{n}=a^{n}b^{n}\, e \,(a^{m})^{n}=a^{mn}\, em \left(5 x^{2} y^{3}\right)^{-2}. Isso dá:
\left(5 x^{2} y^{3}\right)^{-2}=5^{-2}\,x^{2\cdot(-2)}\,y^{3\cdot(-2)}=5^{-2}x^{-4}y^{-6}.

Passo 4

Reescrever o produto inteiro juntando os fatores:
5^{-2}x^{-4}y^{-6}\cdot 10x^{3}y^{5}.

Passo 5

Agrupar coeficientes numéricos e as potências das mesmas bases separadamente:
  • Coeficientes: 5^{-2}\cdot 10.
  • Potências de x: x^{-4}\cdot x^{3}.
  • Potências de y: y^{-6}\cdot y^{5}.

Passo 6

Calcular os coeficientes numéricos:
5^{-2}=\frac{1}{5^{2}}=\frac{1}{25}, \qquad \frac{1}{25}\cdot 10=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}.

Passo 7

Somar os expoentes nas bases iguais (regra a^{p}a^{q}=a^{p+q}):
x^{-4}x^{3}=x^{-4+3}=x^{-1}, \qquad y^{-6}y^{5}=y^{-6+5}=y^{-1}.

Passo 8

Juntando tudo, obtemos
\frac{2}{5}\,x^{-1}y^{-1}.
Agora eliminamos os expoentes negativos usando \,a^{-1}=\dfrac{1}{a}\,:
\frac{2}{5}\,x^{-1}y^{-1}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}=\frac{2}{5xy},
valendo para x\neq 0 e y\neq 0.

Resposta

\dfrac{2}{5xy}

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