Simplifique as expressões, eliminando expoentes negativos, caso existam. Sempre que necessário, suponha que o denominador é não nulo.
\frac{3 x^{2} y^{-2}}{x^{4}}-\frac{y^{5} x^{-2}}{y^{7}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão e eliminar expoentes negativos (supondo que denominadores não são nulos). A expressão dada é:
\frac{3 x^{2} y^{-2}}{x^{4}}-\frac{y^{5} x^{-2}}{y^{7}}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Trabalhar com potências de x e y e eliminar expoentes negativos.
  • Deve-se supor x\neq0 e y\neq0 quando necessário (para que as divisões façam sentido).

Passo 2

Relembrando as regras de potências que vamos usar (mini-aula):
  • A regra de divisão de potências com mesma base: para qualquer número não nulo a e inteiros m,n,
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Isso vale separadamente para x e para y.
  • A definição de expoente negativo: para a\neq0 e inteiro n>0,
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}.
Usaremos essas duas propriedades para simplificar cada fração e depois eliminar expoentes negativos.

Passo 3

Simplificar o primeiro termo \displaystyle \frac{3 x^{2} y^{-2}}{x^{4}}.
Aplicando a regra de divisão de potências aos fatores em x:
\frac{3 x^{2} y^{-2}}{x^{4}} = 3 \cdot x^{2-4}\cdot y^{-2} = 3 x^{-2} y^{-2}.
Agora eliminar os expoentes negativos usando a^{-n}=1/a^{n}:
3 x^{-2} y^{-2} = \frac{3}{x^{2} y^{2}}.

Passo 4

Simplificar o segundo termo \displaystyle \frac{y^{5} x^{-2}}{y^{7}}.
Aplicando a regra de divisão de potências aos fatores em y:
\frac{y^{5} x^{-2}}{y^{7}} = x^{-2}\cdot y^{5-7} = x^{-2} y^{-2}.
Eliminar expoentes negativos:
x^{-2} y^{-2} = \frac{1}{x^{2} y^{2}}.

Passo 5

Agora combinar os dois termos já simplificados:
\frac{3}{x^{2} y^{2}} - \frac{1}{x^{2} y^{2}}.
Como têm o mesmo denominador, subtrai-se os numeradores:
\frac{3-1}{x^{2} y^{2}} = \frac{2}{x^{2} y^{2}}.
Também vale notar a condição de existência: x\neq0 e y\neq0.

Resposta

\dfrac{2}{x^{2} y^{2}}

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