Simplifique as expressões:
\left(\sqrt[3]{\sqrt[6]{2^{9}}}\right)^{4} \cdot\left(\sqrt[6]{\sqrt[3]{2^{9}}}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\left(\sqrt[3]{\sqrt[6]{2^{9}}}\right)^{4}\cdot\left(\sqrt[6]{\sqrt[3]{2^{9}}}\right)^{4}.
O conteúdo principal é o uso de potências fracionárias para eliminar radicais aninhados, aplicando as leis de expoentes.

Passo 2

Vamos converter cada radical em potência fracionária. Lembrando que \sqrt[n]{x}=x^{1/n} e (x^a)^b = x^{a b}.

Passo 3

Primeiro fator:
\sqrt[6]{2^{9}} = (2^{9})^{\tfrac{1}{6}} = 2^{\tfrac{9}{6}} = 2^{\tfrac{3}{2}}.
Então
\sqrt[3]{\sqrt[6]{2^{9}}} = \bigl(2^{\tfrac{3}{2}}\bigr)^{\tfrac{1}{3}} = 2^{\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{3}} = 2^{\tfrac{1}{2}}.
Elevando à quarta potência:
\left(2^{\tfrac{1}{2}}\right)^{4} = 2^{\tfrac{1}{2}\cdot4} = 2^{2} = 4.

Passo 4

Segundo fator:
\sqrt[3]{2^{9}} = (2^{9})^{\tfrac{1}{3}} = 2^{3}.
Depois
\sqrt[6]{\sqrt[3]{2^{9}}} = (2^{3})^{\tfrac{1}{6}} = 2^{\tfrac{3}{6}} = 2^{\tfrac{1}{2}}.
Elevando à quarta potência:
\left(2^{\tfrac{1}{2}}\right)^{4} = 2^{\tfrac{1}{2}\cdot4} = 2^{2} = 4.

Passo 5

Multiplicando os dois resultados:
4 \times 4 = 16.

Resposta

16

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