Simplifique as expressões racionais.
\frac{x^{2}}{x-4}-\frac{x+1}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x^{2}}{x-4}-\frac{x+1}{x+2}.
Informações dadas e condições importantes:
  • As frações têm denominadores (x-4) e (x+2).
  • Devemos observar a restrição do domínio: x não pode anular nenhum denominador, ou seja, x \neq 4 e x \neq -2.
  • Objetivo: escrever a expressão como uma única fração racional mais simples (reduzida, se possível), mostrando o passo a passo.

Passo 2

Para somar ou subtrair frações precisamos de um denominador comum. O mínimo denominador comum entre (x-4) e (x+2) é o produto (x-4)(x+2) (não há fatores comuns aparentes). Então vamos reescrever cada fração com esse denominador comum:
  • Multiplicamos a primeira fração por \dfrac{x+2}{x+2}.
  • Multiplicamos a segunda fração por \dfrac{x-4}{x-4}.

Passo 3

Reescrevendo cada termo com o denominador comum:
\frac{x^{2}}{x-4}=\frac{x^{2}(x+2)}{(x-4)(x+2)} \qquad\text{e}\qquad \frac{x+1}{x+2}=\frac{(x+1)(x-4)}{(x+2)(x-4)}.
Subtraindo as duas frações com o mesmo denominador:
\frac{x^{2}}{x-4}-\frac{x+1}{x+2} = \frac{x^{2}(x+2)-(x+1)(x-4)}{(x-4)(x+2)}.

Passo 4

Agora vamos expandir os numeradores passo a passo:
  • Expandindo x^{2}(x+2):
x^{2}(x+2)=x^{3}+2x^{2}.
  • Expandindo (x+1)(x-4):
(x+1)(x-4)=x^{2}-3x-4.
Substituindo e efetuando a subtração:
\begin{aligned} &x^{2}(x+2)-(x+1)(x-4)\\[4pt] &\quad=(x^{3}+2x^{2})-(x^{2}-3x-4)\\[4pt] &\quad=x^{3}+2x^{2}-x^{2}+3x+4\\[4pt] &\quad=x^{3}+x^{2}+3x+4. \end{aligned}
Portanto a expressão combinada é
\frac{x^{3}+x^{2}+3x+4}{(x-4)(x+2)}.]

Passo 5

Verificamos se o numerador x^{3}+x^{2}+3x+4 tem fator comum com o denominador, pois isso permitiria cancelar fatores. Pelo teste de raízes racionais (os únicos candidatos são divisores de 4: \pm1,\pm2,\pm4) temos:
\begin{aligned} &x=1:\;1+1+3+4=9\neq0,\\\ &x=-1:\;-1+1-3+4=1\neq0,\\\ &x=2:\;8+4+6+4=22\neq0,\\\ &x=-2:\;-8+4-6+4=-6\neq0,\\\ &x=4:\;64+16+12+4=96\neq0. \end{aligned}
Como nenhuma dessas possibilidades zera o numerador, não há raiz racional simples e, portanto, não há fator linear comum (x-4) ou (x+2) que cancele com o denominador. Logo a fração não pode ser simplificada por cancelamento de fatores polinomiais óbvios.

Passo 6

Concluímos que a forma simplificada (reduzida, sem cancelamentos possíveis com denominador) é
\frac{x^{3}+x^{2}+3x+4}{(x-4)(x+2)},
com a restrição de que x\neq4 e x\neq-2.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}+x^{2}+3x+4}{(x-4)(x+2)}

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