Calcule o rotacional dos campos vetoriais \vec{F}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} abaixo:
\quad \vec{F}(x, y, z)=\left(y+x^{2}+6 z^{2}, e^{x+y}, z+x+y\right).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e pede para calcular o rotacional (curl) desse campo. Os dados explícitos são:
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(F_1,F_2,F_3\bigr) = \bigl(y+x^{2}+6 z^{2},\; e^{x+y},\; z+x+y\bigr).
O que precisa ser entregue: \nabla\times\vec{F} (o vetor rotacional, componente a componente).

Passo 2

Definição e fórmula prática (explicando cada símbolo).
  • Chamamos \nabla\times\vec{F} o rotacional de \vec{F}. Se \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) com F_1,F_2,F_3 funções de (x,y,z), então o rotacional é o vetor cujas componentes são dadas por
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right).
  • Aqui \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} são derivadas parciais: ao calcular \frac{\partial F_i}{\partial x} tratamos y e z como constantes e derivamos em relação a x.
    Exemplo rápido: \frac{\partial}{\partial x}e^{x+y}=e^{x+y} porque a derivada de e^{u} em relação a u é e^{u} e u=x+y; \frac{\partial}{\partial z}(x^2)=0 porque x^2 não depende de z.

Passo 3

Identificar as componentes do campo e preparar para derivar:
F_1(x,y,z)=y+x^{2}+6z^{2},\quad F_2(x,y,z)=e^{x+y},\quad F_3(x,y,z)=z+x+y.
Agora vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do rotacional, uma a uma, mostrando como se obtém cada resultado.

Passo 4

Calcular a primeira componente do rotacional:
  • \dfrac{\partial F_3}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(z+x+y). Aqui z e x são tratados como constantes, e a derivada de y em relação a y é 1. Logo
\frac{\partial F_3}{\partial y}=1.
  • \dfrac{\partial F_2}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(e^{x+y}). A função e^{x+y} não depende de z, então sua derivada parcial em relação a z é 0. Logo
\frac{\partial F_2}{\partial z}=0.
  • Portanto a primeira componente do rotacional é
\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}=1-0=1.

Passo 5

Calcular a segunda componente do rotacional:
  • \dfrac{\partial F_1}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(y+x^{2}+6z^{2}). As parcelas y e x^{2} não dependem de z, então suas derivadas parciais são 0. A derivada de 6z^{2} em relação a z é 12z. Logo
\frac{\partial F_1}{\partial z}=12z.
  • \dfrac{\partial F_3}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(z+x+y). Apenas o termo x depende de x, com derivada 1. Assim
\frac{\partial F_3}{\partial x}=1.
  • Portanto a segunda componente do rotacional é
\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}=12z-1.

Passo 6

Calcular a terceira componente do rotacional:
  • \dfrac{\partial F_2}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(e^{x+y}). Tratando y como constante, a derivada de e^{x+y} em relação a x é e^{x+y}. Logo
\frac{\partial F_2}{\partial x}=e^{x+y}.
  • \dfrac{\partial F_1}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(y+x^{2}+6z^{2}). Apenas o termo y depende de y, com derivada 1. Assim
\frac{\partial F_1}{\partial y}=1.
  • Portanto a terceira componente do rotacional é
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=e^{x+y}-1.

Passo 7

Juntando as três componentes calculadas, obtemos o rotacional completo:
\nabla\times\vec{F}(x,y,z)=\bigl(1,\;12z-1,\;e^{x+y}-1\bigr).

Resposta

\nabla\times\vec{F}(x,y,z)=\bigl(1,\;12z-1,\;e^{x+y}-1\bigr)

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