Calcule o rotacional dos campos vetoriais
abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para calcular o rotacional (curl) desse campo. Os dados explícitos são:
O que precisa ser entregue:
(o vetor rotacional, componente a componente).
Passo 2
Definição e fórmula prática (explicando cada símbolo).
- Chamamos
o rotacional de . Se com funções de , então o rotacional é o vetor cujas componentes são dadas por
- Aqui
, , são derivadas parciais: ao calcular tratamos e como constantes e derivamos em relação a .
Exemplo rápido:porque a derivada de em relação a é e ; porque não depende de .
Passo 3
Identificar as componentes do campo e preparar para derivar:
Agora vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do rotacional, uma a uma, mostrando como se obtém cada resultado.
Passo 4
Calcular a primeira componente do rotacional:
-
. Aqui e são tratados como constantes, e a derivada de em relação a é . Logo
-
. A função não depende de , então sua derivada parcial em relação a é . Logo
- Portanto a primeira componente do rotacional é
Passo 5
Calcular a segunda componente do rotacional:
-
. As parcelas e não dependem de , então suas derivadas parciais são . A derivada de em relação a é . Logo
-
. Apenas o termo depende de , com derivada . Assim
- Portanto a segunda componente do rotacional é
Passo 6
Calcular a terceira componente do rotacional:
-
. Tratando como constante, a derivada de em relação a é . Logo
-
. Apenas o termo depende de , com derivada . Assim
- Portanto a terceira componente do rotacional é
Passo 7
Juntando as três componentes calculadas, obtemos o rotacional completo: