Mostre que o campo gravitacional não tem spin, ou seja, mostre que \nabla \times \vec{F}=\overrightarrow{0} se \vec{F} é a força gravitacional. Faça isso de duas maneiras:
(a) Usando a definição
\vec{F}(x, y, z)=-\frac{G M m}{r^{2}} \hat{r}=-G M m \frac{\vec{r}}{r^{3}}
(b) Usando o fato de que existe um potencial dado por V(r)=-G M m / r, cujo gradiente é -\vec{F}, i.e.:
\nabla V=-G M m \nabla\left(\frac{1}{r}\right)=G M m\left(\frac{1}{r^{2}}\right) \hat{r}=-\vec{F}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a força gravitacional tem giro nulo, isto é, que \nabla\times\vec{F}=\overrightarrow{0}, usando duas abordagens diferentes. As informações dadas são:
A força gravitacional em função do vetor posição é
\vec{F}(x,y,z) = -\frac{G M m}{r^{2}}\,\hat{r} = -G M m\,\frac{\vec{r}}{r^{3}},
onde \vec{r}=(x,y,z) e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Existe o potencial escalar
V(r) = -\frac{G M m}{r},
e é informado que \nabla V=-\vec{F}.
O que se pede:
(a) Mostrar diretamente a partir da definição vetorial de \vec{F} que \nabla\times\vec{F}=\overrightarrow{0}.
(b) Mostrar usando que \vec{F}=-\nabla V e uma propriedade sobre o rotacional do gradiente.
Observação prática: a força e o potencial têm singularidade em r=0; os cálculos válidos são para r\neq 0.
Passo 2
Preparação do cálculo em coordenadas cartesianas (método (a)). Vou trabalhar com as componentes cartesianas porque assim usamos derivadas parciais básicas. Escrevo a força com uma constante para simplificar:
\vec{F} = -G M m\,\frac{\vec{r}}{r^{3}}.
Defina a constante C=-G M m. Então as componentes são
Comentário sobre a singularidade: os cálculos com derivadas parciais são válidos onde r>0 (campo é suave lá). No ponto r=0 o campo não é definido, logo não se pode avaliar o rotacional por derivadas usuais naquele ponto. A conclusão física/matemática é que o campo gravitacional é irrotacional em todo o espaço exceto na origem.
Passo 6
Método (b) usando potencial. Parto do potencial
V(r) = -\frac{G M m}{r}.
Pelo enunciado e pela regra das derivadas temos \nabla V = -\vec{F}. Então
\vec{F} = -\nabla V.
Agora uso a identidade geral (válida quando V é duas vezes continuamente diferenciável no ponto considerado): o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre nulo:
\nabla\times(\nabla V)=\overrightarrow{0}.
Prova rápida (componentes): usando índice de Levi-Civita,
\big(\nabla\times(\nabla V)\big)_i = \varepsilon_{ijk}\,\partial_j(\partial_k V) = \varepsilon_{ijk}\,\partial_j\partial_k V.
Como as derivadas parciais comutam (\partial_j\partial_k V=\partial_k\partial_j V) e \varepsilon_{ijk} é anti-simétrica em j,k, a soma se anula, dando zero. Portanto \nabla\times(\nabla V)=\overrightarrow{0}.
valendo novamente para pontos onde V é C^{2}, isto é, para r\neq 0.
Passo 7
Resumo e incentivo amistoso: vimos duas demonstrações complementares. A primeira calcula diretamente as componentes do rotacional da expressão cartesiana de \vec{F} e mostra que cada componente se anula por cancelamentos usando a regra da cadeia. A segunda usa um argumento mais elegante de cálculo vetorial (campo conservativo = gradiente de potencial) e a identidade \nabla\times(\nabla V)=\overrightarrow{0}. Em ambos os casos concluímos que o campo gravitacional é irrotacional em todo o espaço onde está definido (fora da origem). Força: não desanima — esse tipo de prova tem muita repetição de contas e padrões que ficam fáceis com prática!
Resposta
\nabla\times\vec{F}=\overrightarrow{0} para r\neq 0.