Simplifique as expressões a seguir, eliminando expoentes negativos, caso existam. Sempre que necessário, suponha que o denominador é não nulo.
\frac{x^{-5}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, eliminando expoentes negativos se existirem. A expressão dada é
\frac{x^{-5}}{x^{2}}.
Suponha que o denominador não seja nulo, ou seja, x \neq 0.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicar como funciona): quando dividimos potências de mesma base, subtrai-se os expoentes. Mais precisamente, para x\neq0 e quaisquer números a e b,
\frac{x^{a}}{x^{b}} = x^{a-b}.
Por que isso vale? Intuitivamente, x^{a} representa multiplicar x por si mesmo a vezes (ou o inverso, se a é negativo). Ao dividir, fatores iguais no numerador e denominador se cancelam, sobrando a diferença dos expoentes. Exemplo numérico rápido para fixar: \frac{2^{3}}{2^{1}} = \frac{2\cdot2\cdot2}{2} = 2^{2} = 2^{3-1}.
Além disso, a definição de expoente negativo é
x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}\quad\text{para }x\neq0,
ou seja, expoente negativo significa “recíproco”.

Passo 3

Aplicando a regra da divisão de potências à nossa expressão, com a=-5 e b=2, obtemos
\frac{x^{-5}}{x^{2}} = x^{-5-2} = x^{-7}.

Passo 4

O enunciado pede para eliminar expoentes negativos. Usando a definição de expoente negativo, convertemos x^{-7} em recíproco:
x^{-7}=\frac{1}{x^{7}}\quad\text{para }x\neq0.
Alternativa (mesma ideia, apenas escrita diferente): escrever x^{-5}=\dfrac{1}{x^{5}} e dividir por x^{2}
\frac{1/x^{5}}{x^{2}}=\frac{1}{x^{5}\cdot x^{2}}=\frac{1}{x^{7}}.

Passo 5

Verificação numérica rápida para ganhar confiança: tome x=2. Então
\frac{2^{-5}}{2^{2}}=\frac{1/32}{4}=\frac{1}{128},
e
\frac{1}{2^{7}}=\frac{1}{128},
concordando com o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{1}{x^{7}}

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