Simplifique as expressōes. Sempre que necessário, suponha que as variáveis sāo positivas e que os denominadores são nāo nulos.
\sqrt[3]{x^{3} y^{6}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\sqrt[3]{x^{3} y^{6}}.
Informações dadas (que devemos considerar): as variáveis são positivas e os denominadores não são nulos (aqui não há denominadores). A tarefa é apresentar a forma mais simples equivalente da expressão.

Passo 2

Regra útil (transformar raiz em potência): para todo a\ge 0 e inteiro n\ge1,
\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.
Isto significa que a raiz-enésima transforma-se numa potência com expoente 1/n. Também vale, para produtos e potências,
\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}, \qquad \sqrt[n]{a^{m}}=a^{m/n},
desde que se tome a raiz principal (a hipótese a\ge0 garante que não precisamos nos preocupar com valores absolutos aqui). Essas igualdades vêm da propriedade das potências: (a^{m/n})^{n}=a^{m}.

Passo 3

Aplicando a transformação da raiz para potência na expressão dada:
\sqrt[3]{x^{3} y^{6}}=(x^{3} y^{6})^{1/3}.

Passo 4

Usando a propriedade do produto dentro da potência e a regra \,(a^{m})^{p}=a^{m p}\,, separa-se em fatores:
(x^{3} y^{6})^{1/3}=(x^{3})^{1/3}\,(y^{6})^{1/3}.
Alternativamente, aplicando diretamente o expoente aos expoentes:
(x^{3} y^{6})^{1/3}=x^{3\cdot(1/3)}\,y^{6\cdot(1/3)}.

Passo 5

Calcule os produtos dos expoentes:
3\cdot\frac{1}{3}=1, \qquad 6\cdot\frac{1}{3}=2.
Portanto a expressão simplifica para
x^{1} y^{2}=x y^{2}.
A hipótese de que as variáveis são positivas permite escrever x em vez de |x| se fosse necessário; no caso da raiz cúbica isso não seria obrigatório, mas a hipótese elimina qualquer ambiguidade.

Resposta

x y^{2}

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