Simplifique as expressōes. Sempre que necessário, suponha que as variáveis sāo positivas e que os denominadores são nāo nulos.
\sqrt{x y^{3}} \sqrt{x^{5} y}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \sqrt{x y^{3}} \sqrt{x^{5} y}. Foi dado que as variáveis são positivas e os denominadores são não nulos (a informação de positividade permite retirar sinais sem ambiguidade).

Passo 2

Usaremos a propriedade básica das raízes quadradas: para números não negativos A e B vale
\sqrt{A}\,\sqrt{B}=\sqrt{A\!B}.
Isto acontece porque a raiz quadrada é a função inversa do quadrado (tomando a raiz positiva). Assim podemos juntar as duas raízes num único radicando.

Passo 3

Multiplicando os radicandos dentro da raiz e usando a regra de expoentes (quando multiplicamos potências de mesma base somam-se os expoentes), temos
x y^{3}\cdot x^{5} y = x^{1+5} y^{3+1} = x^{6} y^{4}.
Portanto
\sqrt{x y^{3}} \sqrt{x^{5} y}=\sqrt{x^{6} y^{4}}.

Passo 4

Agora simplificamos \sqrt{x^{6} y^{4}}. Como as variáveis são positivas, podemos usar que \sqrt{t^{2n}}=t^{n} para t>0. Note que x^{6}=(x^{3})^{2} e y^{4}=(y^{2})^{2}, então
\sqrt{x^{6} y^{4}}=\sqrt{(x^{3})^{2}(y^{2})^{2}}=\sqrt{(x^{3}y^{2})^{2}}=x^{3}y^{2}.
Também podia-se escrever \sqrt{x^{6} y^{4}}=\sqrt{x^{6}}\sqrt{y^{4}}=x^{3}y^{2} usando a positividade.

Passo 5

Portanto a expressão simplificada é x^{3}y^{2}. Vai tranquilo: a técnica é juntar as raízes, somar expoentes e extrair quadrados perfeitos.

Resposta

x^{3}y^{2}

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