Simplifique as expressōes. Sempre que necessário, suponha que as variáveis sāo positivas e que os denominadores são nāo nulos.
\sqrt[4]{y^{8} / z^{4}}

Passo 1

O problema pede para simplificar a expressão \sqrt[4]{y^{8} / z^{4}}. As informações dadas (que vou usar) são:
  • Suponha que as variáveis são positivas: y>0 e z>0.
  • Suponha que os denominadores não são nulos: z\neq0.

Passo 2

Primeiro, reescrevo a raiz em termos de potência: a raiz de índice 4 corresponde a elevar à potência 1/4. Assim,
\sqrt[4]{\frac{y^{8}}{z^{4}}}=\left(\frac{y^{8}}{z^{4}}\right)^{1/4}.
Explicação didática: a operação “quarta raiz” de um número A é o mesmo que calcular A^{1/4}. Isso vale em geral para raízes: \sqrt[n]{A}=A^{1/n}.

Passo 3

Aplico a propriedade de potência sobre quociente: \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}. Assim
\left(\frac{y^{8}}{z^{4}}\right)^{1/4}=\frac{(y^{8})^{1/4}}{(z^{4})^{1/4}}.
Explicação didática: elevar uma fração a uma potência significa elevar numerador e denominador separadamente àquela potência.

Passo 4

Agora uso a propriedade de potência de potência: (a^{m})^{n}=a^{mn}. Aplicando nos dois membros:
(y^{8})^{1/4}=y^{8\cdot(1/4)}=y^{2}, \qquad (z^{4})^{1/4}=z^{4\cdot(1/4)}=z^{1}=z.
Mostrei passo a passo como multiplicar os expoentes; por exemplo 8\cdot\frac{1}{4}=2.

Passo 5

Juntando os resultados do numerador e denominador:
\frac{(y^{8})^{1/4}}{(z^{4})^{1/4}}=\frac{y^{2}}{z}.
Comentário sobre sinal/valor absoluto: em geral, quando se tira raiz de índice par, o resultado é não negativo, e às vezes aparece valor absoluto (por exemplo \sqrt{y^{2}}=|y|). Aqui teríamos \sqrt[4]{y^{8}}=|y^{2}|. Porém, como foi dado que y>0 e z>0, temos |y^{2}|=y^{2} e não precisamos preocupar com sinal. Portanto a simplificação acima é válida.

Resposta

\dfrac{y^{2}}{z}

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