Simplifique as expressões trigonométricas:
\frac{1-\cos ^{2} x}{1-\operatorname{sen}^{2} x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se simplificar a expressão
\frac{1-\cos^{2} x}{1-\operatorname{sen}^{2} x}.
  • Informação dada: a expressão trigonométrica acima em função de x.

Passo 2

Lembrar a identidade trigonométrica fundamental (Pitagórica) e o que ela significa:
  • A identidade Pitagórica é
\operatorname{sen}^{2} x+\cos^{2} x=1.
  • Essa identidade vem da relação no círculo trigonométrico ou do Teorema de Pitágoras aplicada ao triângulo retângulo formado pelas projeções seno e cosseno; ela vale para todo x.

Passo 3

Usar a identidade para transformar numerador e denominador separadamente:
  • Subtraindo \cos^{2} x dos dois lados da identidade obtemos
1-\cos^{2} x=\operatorname{sen}^{2} x.
  • Subtraindo \operatorname{sen}^{2} x dos dois lados da identidade obtemos
1-\operatorname{sen}^{2} x=\cos^{2} x.

Passo 4

Substituir esses resultados na expressão original:
  • Substituindo em \dfrac{1-\cos^{2} x}{1-\operatorname{sen}^{2} x}
\frac{1-\cos^{2} x}{1-\operatorname{sen}^{2} x}=\frac{\operatorname{sen}^{2} x}{\cos^{2} x}.

Passo 5

Reconhecer a definição da tangente e simplificar a razão:
  • A tangente é definida por
\tan x=\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x},
desde que \cos x\neq 0.
  • Elevando ao quadrado, obtemos
\tan^{2} x=\left(\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\right)^{2}=\frac{\operatorname{sen}^{2} x}{\cos^{2} x}.
  • Portanto a expressão simplifica para \tan^{2} x, com a mesma restrição de domínio \cos x\neq 0.

Passo 6

Escrever a condição de existência (restrição de domínio):
  • O denominador original 1-\operatorname{sen}^{2} x=\cos^{2} x não pode ser zero. Assim é necessário
\cos^{2} x\neq 0\quad\Longrightarrow\quad \cos x\neq 0.
  • As soluções de \cos x=0 são
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
logo esses valores devem ser excluídos.

Resposta

\tan^{2} x,\; x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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