Simplifique:
\frac{e^{3 x} \cdot e^{2 x}}{e^{5 x}}

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão
\frac{e^{3x}\cdot e^{2x}}{e^{5x}}.
Informações dadas:
  • A base dos expoentes é e (constante de Euler).
  • Os expoentes são 3x, 2x e 5x.
    Objetivo: escrever a expressão de forma mais simples (uma forma única e reduzida).

Passo 2

Regra importante (que vamos usar): ao multiplicar potências de mesma base, somam-se os expoentes. Em geral,
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},
onde a é a base (qualquer número não nulo) e m,n são expoentes. Exemplo concreto: 2^{3}\cdot2^{4}=2^{3+4}=2^{7}.

Passo 3

Aplicando essa regra ao numerador:
e^{3x}\cdot e^{2x}=e^{3x+2x}.
Agora some os termos do expoente:
3x+2x=5x,
logo o numerador fica e^{5x}. Agora a expressão original é
\frac{e^{5x}}{e^{5x}}.

Passo 4

Regra de divisão de potências de mesma base: subtrai-se os expoentes. Em geral,
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Aplicando aqui:
\frac{e^{5x}}{e^{5x}}=e^{5x-5x}.
Calcule a diferença dos expoentes:
5x-5x=0,
portanto a expressão é e^{0}.

Passo 5

Propriedade final: qualquer número não nulo elevado a zero vale 1. Ou seja,
a^{0}=1\quad\text{(para }a\neq0\text{)}.
Como e\neq0, temos e^{0}=1. Logo a expressão simplificada é 1.

Resposta

1

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