Simplifique as expressões trigonométricas:
Passo 1
O que o problema dá e o que pede:
- Está dada a expressão
. - O pedido é “simplificar” essa expressão, ou seja, escrever ela de forma mais simples (um resultado mais compacto e reconhecível).
Informação importante implícita: - As funções
e só estão definidas quando . Logo a simplificação valerá para valores de tais que .
Passo 2
Definições básicas (explicando o que cada símbolo significa):
-
é um ângulo (pode ser medido em radianos ou graus). - A função seno é
e o cosseno é . - A tangente é definida por
(desde que ). - A secante é definida por
(desde que ).
Vou usar essas definições quando precisar transformare em termos de e .
Passo 3
Identidade trigonométrica fundamental (explicada):
- A identidade de Pitágoras para funções trigonométricas diz que
Isto vem do círculo unitário: para um ponto da circunferência de raio
com coordenadas
tem-se
.
Agora, divido essa igualdade por (válido quando
). Ao dividir membro a membro obtenho
Agora, divido essa igualdade por
Simplificando cada termo:
Essa é uma identidade muito usada:
.
Passo 4
Isolando a combinação que aparece no enunciado:
A partir de , subtraio
de ambos os lados para obter
A partir de
Essa é a simplificação pedida: a diferença entre
e
é simplesmente
, para todos os
com
.
Passo 5
Verificação numérica rápida (para dar confiança):
Escolho (45°). Então
e
logo
.
Calculando os quadrados:
Escolho
Calculando os quadrados:
e portanto
o que confirma a identidade.
Passo 6
Observação final e dica para a prova:
- Resultado final é
e a demonstração rápida a fazer na prova é lembrar da identidade (vem de dividir por ). - Lembre-se de mencionar que isso vale quando
(para que e estejam definidos).
Força aí! Guardar essa identidade na ponta da língua economiza tempo em muitas questões.