Simplifique as expressões trigonométricas:
\operatorname{sec} ^{2} x-\tan ^{2} x

Passo 1

O que o problema dá e o que pede:
  • Está dada a expressão \operatorname{sec}^{2}x - \tan^{2}x.
  • O pedido é “simplificar” essa expressão, ou seja, escrever ela de forma mais simples (um resultado mais compacto e reconhecível).
    Informação importante implícita:
  • As funções \operatorname{sec} x e \tan x só estão definidas quando \cos x \neq 0. Logo a simplificação valerá para valores de x tais que \cos x \neq 0.

Passo 2

Definições básicas (explicando o que cada símbolo significa):
  • x é um ângulo (pode ser medido em radianos ou graus).
  • A função seno é \sin x e o cosseno é \cos x.
  • A tangente é definida por \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} (desde que \cos x \neq 0).
  • A secante é definida por \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x} (desde que \cos x \neq 0).
    Vou usar essas definições quando precisar transformar \tan e \operatorname{sec} em termos de \sin e \cos.

Passo 3

Identidade trigonométrica fundamental (explicada):
  • A identidade de Pitágoras para funções trigonométricas diz que
\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1.
Isto vem do círculo unitário: para um ponto da circunferência de raio 1 com coordenadas (\cos x,\sin x) tem-se \cos^{2}x+\sin^{2}x=1.
Agora, divido essa igualdade por \cos^{2}x (válido quando \cos x\neq0). Ao dividir membro a membro obtenho
\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} + \frac{\cos^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x}.
Simplificando cada termo:
\tan^{2}x + 1 = \operatorname{sec}^{2}x.
Essa é uma identidade muito usada: 1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 4

Isolando a combinação que aparece no enunciado:
A partir de \tan^{2}x + 1 = \operatorname{sec}^{2}x, subtraio \tan^{2}x de ambos os lados para obter
\operatorname{sec}^{2}x - \tan^{2}x = 1.
Essa é a simplificação pedida: a diferença entre \operatorname{sec}^{2}x e \tan^{2}x é simplesmente 1, para todos os x com \cos x\neq 0.

Passo 5

Verificação numérica rápida (para dar confiança):
Escolho x=\dfrac{\pi}{4} (45°). Então \tan\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1 e \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} logo \operatorname{sec}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}.
Calculando os quadrados:
\tan^{2}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1,\qquad \operatorname{sec}^{2}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2,
e portanto
\operatorname{sec}^{2}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\tan^{2}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2-1=1,
o que confirma a identidade.

Passo 6

Observação final e dica para a prova:
  • Resultado final é \;1\; e a demonstração rápida a fazer na prova é lembrar da identidade \;1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x\; (vem de dividir \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 por \cos^{2}x).
  • Lembre-se de mencionar que isso vale quando \cos x\neq0 (para que \tan e \operatorname{sec} estejam definidos).
    Força aí! Guardar essa identidade na ponta da língua economiza tempo em muitas questões.

Resposta

1

Exercícios relacionados