Simplifique as expressões, usando sempre que possível as propriedades da potência:
\left(\frac{16 a b^{4}}{-8 a^{2} b^{7}}\right)^{-3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\left(\frac{16 a b^{4}}{-8 a^{2} b^{7}}\right)^{-3}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma potência com expoente -3 aplicada a uma fração algébrica.
  • No numerador aparecem os fatores 16, a (que é a^{1}) e b^{4}.
  • No denominador aparecem os fatores -8, a^{2} e b^{7}.
    Objetivo: usar propriedades de potências e regras de operações com expoentes para obter uma forma mais simples e convencional da expressão.

Passo 2

Simplificar o coeficiente numérico dentro da fração. Usar divisão simples:
\frac{16}{-8} = -2.
Portanto a fração fica, antes de tratar os expoentes,
\frac{16 a b^{4}}{-8 a^{2} b^{7}} = -2\cdot\frac{a\; b^{4}}{a^{2} b^{7}}.

Passo 3

Aplicar a regra de potências para dividir bases iguais:
a regra é \dfrac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}.
Para a:
\frac{a}{a^{2}} = a^{1-2} = a^{-1}.
Para b:
\frac{b^{4}}{b^{7}} = b^{4-7} = b^{-3}.
Assim a parte algébrica interna fica
-2\cdot a^{-1} b^{-3}.

Passo 4

Reescrever usando expoentes negativos como fração, lembrando que x^{-k}=\dfrac{1}{x^{k}}:
-2\cdot a^{-1} b^{-3} = -2\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b^{3}} = -\frac{2}{a b^{3}}.
Logo a expressão inicial é
\left(-\frac{2}{a b^{3}}\right)^{-3}.

Passo 5

Aplicar o expoente externo -3. Usar as propriedades:
  • (xy)^{n}=x^{n}y^{n};
  • \left(\dfrac{x}{y}\right)^{n}=\dfrac{x^{n}}{y^{n}};
  • (x^{m})^{n}=x^{m n}.
    Tomando \left(-\dfrac{2}{a b^{3}}\right)^{-3}, pode-se aplicar o expoente a cada fator:
\left(-2\right)^{-3}\cdot\left(a^{-1}\right)^{-3}\cdot\left(b^{-3}\right)^{-3}.
Outra forma equivalente é elevar numerador e denominador separadamente, mas o desenvolvimento acima fica direto para cada fator.

Passo 6

Calcular cada fator:
  • Para o coeficiente: \left(-2\right)^{-3}=\dfrac{1}{(-2)^{3}}=\dfrac{1}{-8}=-\dfrac{1}{8}.
  • Para a: \left(a^{-1}\right)^{-3}=a^{(-1)\cdot(-3)}=a^{3}.
  • Para b: \left(b^{-3}\right)^{-3}=b^{(-3)\cdot(-3)}=b^{9}.
Multiplicando tudo:
-\dfrac{1}{8}\cdot a^{3}\cdot b^{9} = -\dfrac{a^{3} b^{9}}{8}.

Resposta

-\dfrac{a^{3} b^{9}}{8}

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