Simplifique:
\frac{1}{2} \ln (x)+\ln (y)-3 \ln (z)

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão
\frac{1}{2}\ln(x)+\ln(y)-3\ln(z).
Informações dadas:
  • A expressão é combinação de logaritmos naturais \ln.
  • Não há outros números ou condições no enunciado, mas lembrando que \ln(t) só está definido para t>0.

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro (regra da potência):
a\ln(b)=\ln\big(b^{a}\big),
onde a é um número real e b>0. Isso significa que um coeficiente multiplicando um logaritmo pode virar um expoente dentro do argumento do logaritmo. Exemplo rápido: 3\ln(2)=\ln(2^{3})=\ln(8).

Passo 3

Aplicando a regra da potência a cada termo da expressão:
\frac{1}{2}\ln(x)=\ln\big(x^{1/2}\big),
\ln(y)=\ln\big(y\big),
-3\ln(z)=\ln\big(z^{-3}\big).
Aqui usei explicitamente x^{1/2} para a raiz quadrada e z^{-3} para o sinal negativo junto ao coeficiente.

Passo 4

Regra da soma/diferença de logaritmos:
\ln(A)+\ln(B)=\ln(A\cdot B), \qquad \ln(A)-\ln(B)=\ln\!\left(\frac{A}{B}\right),
válidas quando A>0 e B>0. Exemplo: \ln(2)+\ln(3)=\ln(6).

Passo 5

Agora combinamos os três logaritmos usando as regras acima. Primeiro somando todos como um único logaritmo:
\ln\big(x^{1/2}\big)+\ln\big(y\big)+\ln\big(z^{-3}\big) =\ln\!\big(x^{1/2}\cdot y\cdot z^{-3}\big).
Em seguida simplificamos os expoentes:
x^{1/2}\cdot y\cdot z^{-3}=\frac{\sqrt{x}\,y}{z^{3}}.
Portanto a expressão simplificada é o logaritmo desse produto.

Passo 6

Observação sobre domínio: a simplificação vale para x>0, y>0 e z>0, que são as condições para os logaritmos originais estarem definidos.

Resposta

\displaystyle \ln\!\left(\frac{\sqrt{x}\,y}{z^{3}}\right)

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