Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+3 x+2}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to-1}\frac{x^{2}+3x+2}{x+1}.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A função f é a função racional f(x)=\dfrac{x^{2}+3x+2}{x+1}.
  • Quer-se o valor do limite quando x se aproxima de -1 (pela direita e pela esquerda, isto é, limite bilateral).
  • Não há figura nem informação extra.

Passo 2

Entendendo o que significa calcular esse limite (rapidinho, sem jargon). Para calcular \lim_{x\to a} f(x) normalmente tentamos substituir x=a. Se a substituição direta não der problema (não for uma fração com denominador zero, por exemplo), a resposta é simplesmente f(a) graças à continuidade. Quando a substituição direta dá uma expressão do tipo \dfrac{0}{0}, isso é uma forma indeterminada — significa que precisamos simplificar a expressão antes de decidir o limite.

Passo 3

Vamos testar a substituição direta em \dfrac{x^{2}+3x+2}{x+1} com x=-1. Calcular numerador e denominador:
(-1)^{2}+3(-1)+2 = 1-3+2 = 0,
(-1)+1 = 0.
Portanto obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso pede que simplifiquemos a expressão algébrica antes de concluir o limite.

Passo 4

Como simplificar? Uma técnica padrão é fatorar o polinômio do numerador. Vamos fatorar
x^{2}+3x+2.
Procuramos dois números que multiplicam 2 e somam 3. Esses números são 1 e 2. Assim o polinômio fatorado é
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
(Explicando a ideia: se (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab, então precisamos de a+b=3 e ab=2; a=1, b=2.)

Passo 5

Substituindo a fatoração na fração original obtemos, para x\neq-1,
\frac{x^{2}+3x+2}{x+1}=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=(x+2).
Aqui fazemos a simplificação cancelando o fator (x+1). Observação importante: a cancelação só é válida quando x\neq-1 (pois em x=-1 o denominador original é zero). Porém para limites isso é exatamente o que queremos: o comportamento da função para x próximos de -1 mas diferentes de -1.

Passo 6

Agora usamos uma propriedade simples: se duas funções coincidem em todos os pontos de uma vizinhança de a exceto possivelmente no próprio a, então têm o mesmo limite em a. Como para x próximo de -1 com x\neq-1 temos
\frac{x^{2}+3x+2}{x+1}=x+2,
segue que
\lim_{x\to-1}\frac{x^{2}+3x+2}{x+1}=\lim_{x\to-1}(x+2).
A função x+2 é polinomial (logo contínua), então seu limite em -1 é dado pela substituição direta:
\lim_{x\to-1}(x+2)=(-1)+2=1.

Passo 7

Interpretação final: o limite existe e vale 1. Note que a função original tem uma descontinuidade removível em x=-1 — se definíssemos f(-1)=1 a função ficaria contínua naquele ponto.

Resposta

1

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