Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e objetivo claro:
- A função f é a função racional
. - Quer-se o valor do limite quando
se aproxima de (pela direita e pela esquerda, isto é, limite bilateral). - Não há figura nem informação extra.
Passo 2
Entendendo o que significa calcular esse limite (rapidinho, sem jargon). Para calcular
normalmente tentamos substituir
. Se a substituição direta não der problema (não for uma fração com denominador zero, por exemplo), a resposta é simplesmente
graças à continuidade. Quando a substituição direta dá uma expressão do tipo
, isso é uma forma indeterminada — significa que precisamos simplificar a expressão antes de decidir o limite.
Passo 3
Vamos testar a substituição direta em
com
. Calcular numerador e denominador:
Portanto obtemos a forma indeterminada
. Isso pede que simplifiquemos a expressão algébrica antes de concluir o limite.
Passo 4
Como simplificar? Uma técnica padrão é fatorar o polinômio do numerador. Vamos fatorar
Procuramos dois números que multiplicam
e somam
. Esses números são
e
. Assim o polinômio fatorado é
(Explicando a ideia: se
, então precisamos de
e
;
,
.)
Passo 5
Substituindo a fatoração na fração original obtemos, para
,
Aqui fazemos a simplificação cancelando o fator
. Observação importante: a cancelação só é válida quando
(pois em
o denominador original é zero). Porém para limites isso é exatamente o que queremos: o comportamento da função para
próximos de
mas diferentes de
.
Passo 6
Agora usamos uma propriedade simples: se duas funções coincidem em todos os pontos de uma vizinhança de
exceto possivelmente no próprio
, então têm o mesmo limite em
. Como para
próximo de
com
temos
segue que
A função
é polinomial (logo contínua), então seu limite em
é dado pela substituição direta:
Passo 7
Interpretação final: o limite existe e vale
. Note que a função original tem uma descontinuidade removível em
— se definíssemos
a função ficaria contínua naquele ponto.