Simplifique:
\ln \left(x^{2}-1\right)-\ln (x-1)

Passo 1

O enunciado dá a expressão \ln\left(x^{2}-1\right)-\ln(x-1) e pede para simplificá‑la. Informações relevantes que temos:
  • A expressão envolve logaritmo natural \ln(\cdot).
  • É preciso lembrar que \ln(t) só está definido para t>0.
    O objetivo é reescrever a expressão de forma mais simples, indicando também as restrições de domínio necessárias.

Passo 2

Fatorar o polinômio do primeiro logaritmo. Usamos a identidade de diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui a=x e b=1, logo
x^{2}-1=(x-1)(x+1).

Passo 3

Recordar a regra dos logaritmos que vamos usar. Para A>0 e B>0 vale
\ln(A)-\ln(B)=\ln\!\left(\frac{A}{B}\right).
Nessa fórmula, A e B são os argumentos positivos dos logaritmos — ou seja, as quantidades dentro de cada \ln(\cdot).

Passo 4

Aplicar a regra com A=x^{2}-1 e B=x-1:
\ln\left(x^{2}-1\right)-\ln(x-1)=\ln\!\left(\frac{x^{2}-1}{x-1}\right).
Substituindo a fatoração do Passo 2:
\ln\!\left(\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\right).

Passo 5

Simplificar a fração cancelando o fator comum x-1. Antes de cancelar, verificar as condições:
  • Para \ln(x-1) ser definido precisamos de x-1>0, ou seja x>1.
  • Para \ln(x^{2}-1) ser definido precisamos de x^{2}-1>0, ou seja x>1 ou x<-1.
    A interseção dessas condições é x>1. Além disso, ao cancelar (x-1) estamos implicitamente usando x\neq1, o que já é garantido por x>1. Portanto a simplificação é válida para x>1, e o cancelamento dá
\ln\!\left(\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\right)=\ln(x+1).

Passo 6

Verificação numérica rápida para ganhar confiança (exemplo): seja x=2 (que satisfaz x>1):
\ln(2^{2}-1)-\ln(2-1)=\ln(3)-\ln(1)=\ln(3)-0=\ln(3),
e a expressão simplificada fornece \ln(2+1)=\ln(3). Está consistente.

Resposta

\ln(x+1),\; x>1

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