Simplifique \frac{f(x+h)-f(x)}{h}(h \neq 0) para f(x) igual a:
16) \frac{x+1}{x^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a diferença quociente \r
\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\quad h\neq0, \r
onde f(x)=\frac{x+1}{x^2+2}. Vamos usar álgebra de frações, colocar tudo sobre um denominador comum, expandir e depois cancelar o fator h.

Passo 2

Primeiro, escrevemos \r
\;f(x+h)=\frac{(x+h)+1}{(x+h)^2+2}=\frac{x+h+1}{x^2+2xh+h^2+2}.

Passo 3

Agora montamos a diferença quociente:\r
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\r =\frac{1}{h}\Biggl(\frac{x+h+1}{x^2+2xh+h^2+2}-\frac{x+1}{x^2+2}\Biggr).

Passo 4

Para subtrair as frações, usamos o denominador comum \bigl((x+h)^2+2\bigr)(x^2+2). O numerador fica\r
\begin{aligned}\r &\;(x+h+1)(x^2+2)- (x+1)\bigl(x^2+2xh+h^2+2\bigr)\\\ ={}&(x+1)(x^2+2)+h(x^2+2)\;-\;(x+1)(x^2+2)-2xh(x+1)-h^2(x+1)\\\ ={}&h(x^2+2)-2xh(x+1)-h^2(x+1).\r \end{aligned}

Passo 5

No numerador acima há um fator comum h: \r
\;h\bigl(x^2+2-2x(x+1)-h(x+1)\bigr)\r
e no denominador total também aparece um fator h. Cancelando esse h, obtemos a forma simplificada:\r
\frac{x^2+2-2x(x+1)-h(x+1)}{\bigl((x+h)^2+2\bigr)(x^2+2)}.

Resposta

\boxed{\frac{\,x^2+2-2x(x+1)-h(x+1)\,}{\bigl((x+h)^2+2\bigr)\,(x^2+2)}}.

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