Simplifique \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde h \neq 0 para as funções dadas abaixo:
x^{2}+3 x

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} com h \neq 0, sendo a função dada f(x)=x^{2}+3x.
Informações importantes que temos:
  • f(x)=x^{2}+3x.
  • Queremos \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} e é dado que h\neq0.

Passo 2

Calcular f(x+h). Substituir x por x+h em f:
f(x+h)=(x+h)^{2}+3(x+h).
Explicando cada parte: (x+h)^{2} é um quadrado de binômio. Pela fórmula (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, temos
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
E 3(x+h) por distributiva vira 3x+3h. Portanto
f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}+3x+3h.

Passo 3

Formar o numerador f(x+h)-f(x). Lembrando f(x)=x^{2}+3x, então
\begin{aligned} f(x+h)-f(x) &= \big(x^{2}+2xh+h^{2}+3x+3h\big) - \big(x^{2}+3x\big)\\\ &= x^{2}+2xh+h^{2}+3x+3h - x^{2} - 3x. \end{aligned}
Agora cancelar termos iguais ( x^{2} e 3x se anulam):
f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}+3h.

Passo 4

Dividir o numerador por h e simplificar (lembre: h\neq0 permite cancelar h):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2xh+h^{2}+3h}{h}.
Fatorando h no numerador:
\frac{h(2x+h+3)}{h}.
Cancelando h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h+3.

Passo 5

Interpretação rápida e dica para prova: \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é o quociente incremental (taxa média de variação de f entre x e x+h). O procedimento padrão é calcular f(x+h), subtrair f(x), fatorar h no numerador e cancelar com o denominador — por isso é importante sempre expandir e organizar os termos para ver o fator comum. Se a questão pede a derivada, então neste caso tomar-se-ia o limite quando h\to0, o que daria 2x+3.

Resposta

2x+h+3

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