Simplifique as frações abaixo até obter uma fração irredutível.
\frac{44}{52}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração \frac{44}{52} até obter uma fração irredutível.
Informações dadas:
  • Numerador: \,44\,.
  • Denominador: \,52\,.

Passo 2

O que significa “fração irredutível”?
Uma fração está irredutível quando o numerador e o denominador não têm nenhum divisor comum além de 1. O método padrão é encontrar o máximo divisor comum (MDC, em português também chamado de \gcd) entre numerador e denominador e dividir ambos por esse número. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Primeiro faço a fatoração prima de cada número (isso ajuda a ver os fatores comuns).
  • Para \,44\,: dividir por 2
44 \div 2 = 22,
dividir 22 por 2
22 \div 2 = 11,
e 11 é primo. Logo
44 = 2^2 \cdot 11.
  • Para \,52\,: dividir por 2
52 \div 2 = 26,
dividir 26 por 2
26 \div 2 = 13,
e 13 é primo. Logo
52 = 2^2 \cdot 13.

Passo 4

Agora identifico os fatores comuns nas fatorações:
44 = 2^2 \cdot 11,\qquad 52 = 2^2 \cdot 13.
O fator primo comum é 2^2. Portanto o máximo divisor comum é
\gcd(44,52) = 2^2 = 4.

Passo 5

Divido numerador e denominador por \gcd(44,52)=4:
\frac{44}{52} = \frac{44\div4}{52\div4} = \frac{11}{13}.

Passo 6

Verificação de que \frac{11}{13} é irredutível: 11 e 13 são ambos números primos e distintos, logo não têm divisores comuns além de 1. Assim a fração já está irredutível.

Passo 7

Verificação alternativa (algoritmo de Euclides) para confirmar o \gcd:
52 = 44\cdot1 + 8,
44 = 8\cdot5 + 4,
8 = 4\cdot2 + 0.
Quando o resto chega a 0, o último resto não nulo é o \gcd, aqui 4. Confirma-se portanto a divisão por 4 usada acima.

Resposta

\frac{11}{13}

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