Simplifique, se possível, as expressões abaixo
\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}.
Informações dadas:
  • O numerador é \,x-1\,.
  • O denominador é (x+1)(x-1).
    Objetivo: reduzir a fração ao máximo, mantendo as condições sobre x que garantem que a expressão original está definida.

Passo 2

Antes de qualquer cancelamento, determinar onde a expressão está definida (restrições de domínio). A expressão é uma fração; o denominador não pode ser zero. Então exigimos
(x+1)(x-1)\neq 0.
Isso ocorre se, e somente se,
x\neq -1\quad\text{e}\quad x\neq 1.
Então a expressão original só faz sentido para x tais que x\neq -1 e x\neq 1.

Passo 3

Observar fatores comuns. O numerador é \,x-1\, e o denominador é (x+1)(x-1); portanto há um fator comum \,x-1\, em cima e embaixo.
Explicação didática do porquê se pode cancelar: se uma fração tem um fator comum a no numerador e denominador, pode-se dividir numerador e denominador por a — mas isso só é válido quando a\neq 0, porque dividir por zero não está definido. Aqui o fator comum é x-1, então só podemos cancelá-lo quando x-1\neq 0, isto é, quando x\neq 1. Além disso já sabemos que x\neq -1 vem do denominador original.

Passo 4

Fazendo o cancelamento (lembrando da condição x\neq 1):
\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x+1}\qquad\text{desde que }x\neq 1.
Juntando com a restrição anterior do denominador original (que pede x\neq -1 e x\neq 1), concluímos que a forma simplificada vale para
x\neq -1,\;x\neq 1.
Observação importante (didática): geometricamente/algebricamente, a simplificação remove um fator comum, mas a expressão original tinha uma “falha” em x=1 (um buraco), que deve ser registrada — por isso a condição x\neq 1 permanece.

Passo 5

Verificação com um valor numérico (para ganhar confiança): tomar x=2 (que respeita as restrições). Na forma original:
\frac{2-1}{(2+1)(2-1)}=\frac{1}{3\cdot 1}=\frac{1}{3}.
Na forma simplificada:
\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}.
Os valores coincidem para x=2, como esperado.

Resposta

\dfrac{1}{x+1},\\ x\neq -1,\\ x\neq 1

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