Simplifique, se possível, as expressões abaixo
\frac{4 x^{2} y^{5}}{3 x^{7}} \cdot \frac{3 x^{2}}{6 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar, se possível, a expressão
\frac{4 x^{2} y^{5}}{3 x^{7}} \cdot \frac{3 x^{2}}{6 y^{2}}.
Informações dadas:
  • Os fatores são frações que serão multiplicadas.
  • As quantidades numéricas e as potências de x e y aparecem no numerador e denominador.

Passo 2

Regra básica de produto de frações: para multiplicar duas frações multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador. Assim podemos reescrever a expressão como uma única fração:
\frac{4 x^{2} y^{5} \cdot 3 x^{2}}{3 x^{7} \cdot 6 y^{2}}.

Passo 3

Multiplicamos os coeficientes numéricos no numerador e nas potências iguais de x no numerador usando a regra de produtos de potências com mesma base:
  • Para números: 4\cdot 3 = 12.
  • Para potências de x: x^{2}\cdot x^{2}=x^{2+2}=x^{4} (regra: x^{a}x^{b}=x^{a+b}).
    Portanto o numerador vira
12 x^{4} y^{5}.

Passo 4

Agora o denominador: multiplicamos os coeficientes e as potências:
  • Para números: 3\cdot 6 = 18.
  • Mantém-se x^{7} e y^{2}.
    Então o denominador é
18 x^{7} y^{2}.

Passo 5

Agora temos a fração combinada
\frac{12 x^{4} y^{5}}{18 x^{7} y^{2}}.
Primeiro simplificamos os coeficientes numéricos: o máximo divisor comum entre 12 e 18 é 6. Dividindo numerador e denominador por 6,
\frac{12}{18}=\frac{2}{3},
logo a fração fica
\frac{2 x^{4} y^{5}}{3 x^{7} y^{2}}.

Passo 6

Agora simplificamos as potências das mesmas bases usando a regra de quociente de potências: x^{a}/x^{b}=x^{a-b} quando a\le b (o resultado pode ser potência negativa, que aqui evitaremos mantendo no denominador).
  • Para x: \dfrac{x^{4}}{x^{7}}=x^{4-7}=x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}. Em termos de simplificação de fração isso corresponde a cancelar x^{4} do numerador deixando x^{3} no denominador.
  • Para y: \dfrac{y^{5}}{y^{2}}=y^{5-2}=y^{3}.
    Aplicando essas simplificações obtemos
\frac{2 y^{3}}{3 x^{3}}.

Passo 7

Verificação final: não há mais fatores numéricos ou literais comuns entre numerador e denominador. Podemos também reescrever a resposta como
\frac{2}{3}\left(\frac{y}{x}\right)^{3},
que é equivalente a \dfrac{2 y^{3}}{3 x^{3}}.

Resposta

\dfrac{2 y^{3}}{3 x^{3}}

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