Simplifique, se possível, as expressões abaixo
\frac{15 x \sqrt{(5-x)}}{\sqrt{(5-x)}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{15 x \sqrt{(5-x)}}{\sqrt{(5-x)}}.
Informações relevantes dadas ou imediatas:
  • A presença de \sqrt{(5-x)} exige que 5-x\ge 0, ou seja, a expressão só faz sentido (no conjunto dos reais) para x\le 5.
  • O denominador contém \sqrt{(5-x)}. Para podermos cancelar fatores iguais no numerador e denominador é necessário que esse fator seja diferente de zero; portanto devemos verificar o caso x=5 (onde \sqrt{(5-x)}=0).

Passo 2

Lembrete da regra de cancelamento (aula rápida): para quaisquer números a e b vale
\frac{a\cdot b}{a}=b
desde que a\neq 0. Ou seja, só se pode “simplificar” um fator comum se ele for diferente de zero, porque divisão por zero não é permitida.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso: aqui o fator comum é \sqrt{(5-x)}. Observação sobre esse fator:
\sqrt{(5-x)}\ge 0\quad\text{e}\quad \sqrt{(5-x)}=0\iff x=5.
Portanto, para todo x tal que x<5 (ou seja, quando \sqrt{(5-x)}>0) podemos cancelar \sqrt{(5-x)} no numerador e no denominador.

Passo 4

Fazendo a simplificação quando permitido:
\frac{15 x \sqrt{(5-x)}}{\sqrt{(5-x)}} = 15x\quad\text{para }x<5.
Para x=5 temos numerador 15\cdot 5\cdot 0=0 e denominador 0, ou seja, a expressão original é uma forma 0/0 e portanto não está definida em x=5.

Passo 5

Comentário adicional útil para prova: a expressão simplificada 15x coincide com o valor da função original em todos os pontos do domínio onde a original está definida ( x<5). O limite lateral existe:
\lim_{x\to 5^-}\frac{15 x \sqrt{(5-x)}}{\sqrt{(5-x)}}=\lim_{x\to 5^-}15x=75,
mas isso não faz a expressão original estar definida em x=5.

Resposta

\,15x para x<5.
Não definida em x=5.

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