Simplifique e reduza as seguintes expressões booleanas à sua forma disjuntiva normal: (c)
;
Passo 1
O enunciado pede para simplificar e reduzir à forma disjuntiva normal a expressão booleana
Informações dadas:
- A expressão a ser simplificada é
. - O objetivo é escrever o resultado em forma disjuntiva normal (soma de produtos de literais), simplificando ao máximo.
Passo 2
Antes de mexer na expressão, vamos lembrar a notação e as leis que usaremos (explicadas de modo simples):
-
significa OR entre e . -
ou apenas significa AND entre e . -
significa o complemento (NOT) de .
Leis úteis (com explicação curta): - Complemento:
e . Significa que uma variável E seu complemento dão falso no AND e verdadeiro no OR. - Elementos neutros:
, . - Absorção/Idempotência:
(se já é 1, não acrescenta nada). - Distributiva:
. - Observação útil (identidade que vamos usar): para quaisquer expressões
,
Vou demonstrar essa identidade no próximo passo — ela simplifica muito a conta aqui.
Passo 3
Demonstração rápida da identidade
:
Expande-se usando distributiva:
Expande-se usando distributiva:
Mas
(idempotência) e em OR temos
(porque
por absorção). Assim os termos que envolvem
somados reduzem a
. Logo sobra
Portanto a identidade está correta. É uma ferramenta prática: quando os dois somandos têm
, o produto dos dois soma resulta em
.
Passo 4
Aplicando a identidade ao nosso caso: identifique
Então
Ou seja
Passo 5
Agora expandimos
usando distributiva (multiplicando termo a termo):
Aplique as leis de complemento:
e
. Portanto restam
Passo 6
Substituindo no resultado do Passo 4, obtemos:
Isso já é uma forma disjuntiva normal: soma (OR) de produtos (AND) de literais. Cada termo (
,
,
) é um produto de literais; a soma dos três é a DNF simplificada.
Passo 7
Verificação rápida de que não há absorção adicional útil:
-
é um literal isolado; somar a ou não permite absorção (por exemplo, não simplifica para apenas a menos que seja subsumido por , o que não é o caso). - Portanto a expressão mínima em DNF é exatamente