Simplifique e reduza as seguintes expressões booleanas à sua forma disjuntiva normal: (c) \left(a+b^{\prime}+c\right)\left(a^{\prime}+b+c\right);

Passo 1

O enunciado pede para simplificar e reduzir à forma disjuntiva normal a expressão booleana
\left(a+b^{\prime}+c\right)\left(a^{\prime}+b+c\right).
Informações dadas:
  • A expressão a ser simplificada é \left(a+b^{\prime}+c\right)\left(a^{\prime}+b+c\right).
  • O objetivo é escrever o resultado em forma disjuntiva normal (soma de produtos de literais), simplificando ao máximo.

Passo 2

Antes de mexer na expressão, vamos lembrar a notação e as leis que usaremos (explicadas de modo simples):
  • x+y significa OR entre x e y.
  • xy ou apenas x y significa AND entre x e y.
  • x^{\prime} significa o complemento (NOT) de x.
    Leis úteis (com explicação curta):
  • Complemento: \;x x^{\prime}=0 e \;x + x^{\prime}=1. Significa que uma variável E seu complemento dão falso no AND e verdadeiro no OR.
  • Elementos neutros: \;x+0=x, \;x1=x.
  • Absorção/Idempotência: \;x+x y = x (se x já é 1, x y não acrescenta nada).
  • Distributiva: \; (X+Y)Z = XZ + YZ.
  • Observação útil (identidade que vamos usar): para quaisquer expressões X,Y,
(X+c)(Y+c)=XY + c.
Vou demonstrar essa identidade no próximo passo — ela simplifica muito a conta aqui.

Passo 3

Demonstração rápida da identidade (X+c)(Y+c)=XY+c:
Expande-se usando distributiva:
(X+c)(Y+c)=XY + Xc + Yc + cc.
Mas cc=c (idempotência) e em OR temos Xc + c = c (porque c + Xc = c por absorção). Assim os termos que envolvem c somados reduzem a c. Logo sobra
XY + c.
Portanto a identidade está correta. É uma ferramenta prática: quando os dois somandos têm +c, o produto dos dois soma resulta em XY+c.

Passo 4

Aplicando a identidade ao nosso caso: identifique
X = a + b^{\prime},\qquad Y = a^{\prime} + b,\qquad\text{e}\qquad c = c.
Então
\left(a+b^{\prime}+c\right)\left(a^{\prime}+b+c\right) = (X+c)(Y+c) = XY + c.
Ou seja
\left(a+b^{\prime}+c\right)\left(a^{\prime}+b+c\right) = (a+b^{\prime})(a^{\prime}+b) + c.

Passo 5

Agora expandimos (a+b^{\prime})(a^{\prime}+b) usando distributiva (multiplicando termo a termo):
(a+b^{\prime})(a^{\prime}+b)= a a^{\prime} + a b + b^{\prime} a^{\prime} + b^{\prime} b.
Aplique as leis de complemento: a a^{\prime}=0 e b^{\prime} b=0. Portanto restam
a b + a^{\prime} b^{\prime}.

Passo 6

Substituindo no resultado do Passo 4, obtemos:
\left(a+b^{\prime}+c\right)\left(a^{\prime}+b+c\right) = a b + a^{\prime} b^{\prime} + c.
Isso já é uma forma disjuntiva normal: soma (OR) de produtos (AND) de literais. Cada termo ( ab, a'b', c) é um produto de literais; a soma dos três é a DNF simplificada.

Passo 7

Verificação rápida de que não há absorção adicional útil:
  • c é um literal isolado; somar c a ab ou a'b' não permite absorção (por exemplo, c + ab não simplifica para apenas c a menos que ab seja subsumido por c, o que não é o caso).
  • Portanto a expressão mínima em DNF é exatamente
ab + a^{\prime}b^{\prime} + c.

Resposta

a b + a^{\prime} b^{\prime} + c

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