Em um circuito retificador de onda completa com derivação total, a tensão de pico no secundário do trafo é de 24 V . Este retificador alimenta uma carga de 20 \Omega. Calcule: a) A tensão eficaz no secundário do trafo; b) A corrente máxima na carga e no diodo; c) A tensão média na carga; d) A corrente média na carga e no diodo e e) O PIV necessário.

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede):\n
  • Um retificador de onda completa “com derivação total” alimenta uma carga de \,20\\ \Omega.\n
  • A tensão de pico no secundário do transformador é \,24\\ \mathrm{V} (ou seja, \,V_p = 24\\ \mathrm{V}).\n
    O enunciado pede que se calcule:\n
    a) A tensão eficaz (rms) no secundário do trafo;\n
    b) A corrente máxima na carga e a corrente máxima no diodo;\n
    c) A tensão média na carga;\n
    d) A corrente média na carga e a corrente média no diodo;\n
    e) O PIV (tensão inversa de pico) necessário para o(s) diodo(s).\n

Passo 2

Escolha do modelo e suposições (explico o porquê das escolhas):\n
  • O enunciado diz “onda completa com derivação total”. Existem duas topologias comuns que produzem retificação de onda completa: (i) retificador em ponte (bridge) e (ii) retificador com tomada central (center‑tap). Essas duas dão respostas numéricas diferentes para PIV e para as tensões nas semissinas.\n
  • Como o enunciado deu apenas "tensão de pico no secundário do trafo = \,24\\ \mathrm{V}" e não forneceu queda nos diodos, vou adotar o caso mais comum em exercícios modernos: retificador em ponte (full‑wave bridge) e diodos ideais (queda direta =0). Se o professor quisesse tomada central teria provavelmente dito “tomada central” ou dado o valor por semienrolamento; portanto a escolha por ponte é razoável.\n
  • Se, na sua prova, o circuito for com tomada central, os resultados mudam (em particular o PIV e as tensões de pico na carga). Aqui continuo com a hipótese de ponte e diodos ideais.\n

Passo 3

Cálculo da tensão eficaz (rms) do secundário: fórmula e explicação didática\n
  • Para uma tensão senoidal de amplitude de pico \,V_p, a tensão eficaz (rms) é definida por
V_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} [v(t)]^{2} \, dt}.
  • Para v(t)=V_p\sin(\omega t) essa integral dá
V_{\mathrm{rms}}=V_p\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{V_p}{\sqrt{2}}.
  • Aplicando com \,V_p=24\\ \mathrm{V}:
V_{\mathrm{rms}}=\frac{24}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{V}.
  • Calculando numericamente:
V_{\mathrm{rms}}\approx 24\div 1,4142 \approx 16{,}97\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Cálculo da corrente máxima na carga e no(s) diodo(s): teoria e aplicação\n
  • Em retificação em ponte com diodos ideais, o valor de pico disponível na carga (desprezando quedas nos diodos) é igual à amplitude de pico do secundário, ou seja \,V_p.\n
  • A corrente instantânea resistiva máxima (pico) é quando a tensão atinge \,V_p. Pela Lei de Ohm:
I_{\mathrm{max}}=\frac{V_p}{R}.
  • Substituindo \,V_p=24\\ \mathrm{V} e \,R=20\\ \Omega:
I_{\mathrm{max}}=\frac{24}{20}\\ \mathrm{A}=1{,}2\\ \mathrm{A}.
  • Observação sobre diodos: em ponte dois diodos conduzem em série durante cada semiciclo; a corrente que atravessa cada diodo, enquanto ele conduz, é igual à corrente da carga. Portanto a corrente máxima no diodo (quando conduz) é a mesma que a da carga: \,1{,}2\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Cálculo da tensão média (valor médio) na carga: dedução da fórmula\n
  • A tensão retificada em ponte é a forma absoluta da senoide: |V_p\sin(\omega t)|. A tensão média (valor DC) entregue à carga é a média dessa onda retificada ao longo de um período T:
V_{\mathrm{avg}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} |V_p\sin(\omega t)|\,dt.
  • É padrão e útil saber que
\frac{1}{T}\int_{0}^{T} |\sin(\omega t)|\,dt=\frac{2}{\pi},
portanto
V_{\mathrm{avg}}=\frac{2V_p}{\pi}.
(Essa é uma integral básica: \int_{0}^{\pi} \sin\theta\,d\theta = 2, e a função |\sin| tem duas meias-sinas por período.)\n
  • Aplicando com \,V_p=24\\ \mathrm{V}:
V_{\mathrm{avg}}=\frac{2\cdot 24}{\pi}\\ \mathrm{V}=\frac{48}{\pi}\\ \mathrm{V}.
  • Valor numérico:
V_{\mathrm{avg}}\approx \frac{48}{3{,}1416}\\ \mathrm{V}\approx 15{,}28\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Cálculo da corrente média na carga: fórmula e cálculo\n
  • A corrente média na carga é simplesmente a tensão média dividida pela resistência (Lei de Ohm aplicada ao valor médio, pois a carga é puramente resistiva):
I_{\mathrm{avg, carga}}=\frac{V_{\mathrm{avg}}}{R}=\frac{2V_p}{\pi R}.
  • Substituindo os valores:
I_{\mathrm{avg, carga}}=\frac{2\cdot 24}{\pi \cdot 20}\\ \mathrm{A}=\frac{48}{20\pi}\\ \mathrm{A}.
  • Valor numérico:
I_{\mathrm{avg, carga}}\approx \frac{15{,}279\\ \mathrm{V}}{20\\ \Omega}\approx 0{,}764\\ \mathrm{A}.
(observação: usei o valor de V_{\mathrm{avg}}\approx 15{,}279\\ \mathrm{V} obtido antes.)

Passo 7

Cálculo da corrente média no diodo: interpretação física e cálculo\n
  • Em retificador em ponte, cada diodo conduz durante metade do período (cada semiciclo duas diodos conduzem em série, mas cada diodo individualmente conduz apenas quando sua meia-sina está positiva). Portanto, a corrente média (média sobre todo o período) que passa por um único diodo é igual à metade da corrente média da carga.\n
  • Justificativa curta: o integral da corrente sobre um período para um diodo é igual ao integral da corrente sobre um semiciclo (pois o diodo só conduz nesse semiciclo). Como o período tem dois semiciclos iguais, o valor médio sobre o período é metade do valor médio da forma retificada. Matematicamente já obtivemos anteriormente que
I_{\mathrm{avg, diodo}}=\frac{V_p}{\pi R}=\frac{1}{2}\,I_{\mathrm{avg, carga}}.
  • Substituindo numericamente:
I_{\mathrm{avg, diodo}}=\frac{24}{\pi\cdot 20}\\ \mathrm{A}\approx 0{,}382\\ \mathrm{A}.

Passo 8

Cálculo do PIV (Peak Inverse Voltage) necessário: explicação física\n
  • PIV de um diodo é a tensão máxima reversa que ele precisa suportar quando ele está bloqueando.\n
  • No retificador em ponte com secundário isolado (como aqui), quando um par de diodos conduz, os diodos bloqueados veem quase toda a tensão de pico do secundário em inverso. Para a topologia em ponte, a tensão reversa máxima que cada diodo deve suportar é igual aproximadamente ao pico da tensão do secundário, isto é \,V_p.\n
  • Assim:
\mathrm{PIV}=V_p.
  • Substituindo \,V_p=24\\ \mathrm{V}:
\mathrm{PIV}=24\\ \mathrm{V}.

Resposta

a) V_{\mathrm{rms}}=16{,}97\\ \mathrm{V}.\n
b) I_{\mathrm{max}}=1{,}2\\ \mathrm{A} (carga) e corrente máxima no diodo (quando conduz) =1{,}2\\ \mathrm{A}.\n
c) V_{\mathrm{avg}}=15{,}28\\ \mathrm{V}.\n
d) I_{\mathrm{avg,\\ carga}}=0{,}764\\ \mathrm{A}.\n
I_{\mathrm{avg,\\ diodo}}=0{,}382\\ \mathrm{A}.\n
e) \mathrm{PIV}=24\\ \mathrm{V}.

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