Simplifique as seguintes expressões em que A, B e C representam matrizes.
A(3 B-C)+A^{2} B+3 A(C-2 B)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão matricial
A(3B-C)+A^{2}B+3A(C-2B), onde A, B e C são matrizes.
Informações relevantes que temos e regras que vamos usar (pegue como ferramentas):
  • A multiplicação por escalar distribui: k(X+Y)=kX+kY para escalar k e matrizes X,Y.
  • A multiplicação matricial é distributiva à direita e à esquerda: A(X+Y)=AX+AY e (X+Y)A=XA+YA.
  • Em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa: XY\neq YX em geral — portanto não podemos trocar a ordem dos fatores.
  • Podemos fatorar um escalar ou uma matriz que fique em mesma posição relativa em todos os termos (por exemplo, fatorar A à esquerda se todos os termos o tiverem à esquerda).

Passo 2

Vamos expandir o primeiro termo usando distributividade à direita:
A(3B-C)=3AB-AC.
Explicação: multiplicar A pela soma 3B-C A\cdot 3B - A\cdot C. Multiplicar por escalar 3 pode ser colocada antes ou depois na multiplicação (por exemplo A\cdot 3B = 3(AB)).

Passo 3

Vamos expandir o terceiro termo 3A(C-2B). Primeiro o escalar 3 sai da multiplicação:
3A(C-2B)=3\bigl(A(C-2B)\bigr)=3(AC-2AB)=3AC-6AB.
Explicação: A(C-2B)=AC-2AB, depois multiplica-se tudo por 3.

Passo 4

Agora escrevemos a soma completa substituindo as expansões:
A(3B-C)+A^{2}B+3A(C-2B)=(3AB-AC)+A^{2}B+(3AC-6AB).

Passo 5

Agrupamos termos semelhantes (mesma ordem de multiplicação):
  • Termos com AB: 3AB e -6AB e também temos \;A^{2}B (este último não é exatamente do tipo AB simples, mas iremos mantê-lo separado). Primeiro combine os que têm exatamente AB:
3AB-6AB=-3AB.
  • Termos com AC: -AC+3AC=2AC.
Portanto, juntando tudo:
(3AB-6AB)+A^{2}B+(-AC+3AC)=A^{2}B-3AB+2AC.

Passo 6

Podemos apresentar a expressão em formas alternativas factorizadas úteis, lembrando que a ordem importa:
  • Forma direta simplificada:
A^{2}B-3AB+2AC.
  • Fatorando A à esquerda (todas as parcelas têm A à esquerda):
A\bigl(AB-3B+2C\bigr).
  • Outra forma usando a matriz identidade I para agrupar B:
A\bigl((A-3I)B+2C\bigr),
porque AB-3B=(A-3I)B. Aqui I é a matriz identidade de dimensão compatível.
Essas três formas são equivalentes; escolha a que for mais conveniente na prova.

Resposta

A^{2}B-3AB+2AC

Exercícios relacionados