Simplifique as seguintes expressões em que
e
representam matrizes.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão matricial
, onde
,
e
são matrizes.
Informações relevantes que temos e regras que vamos usar (pegue como ferramentas):
Informações relevantes que temos e regras que vamos usar (pegue como ferramentas):
- A multiplicação por escalar distribui:
para escalar e matrizes . - A multiplicação matricial é distributiva à direita e à esquerda:
e . - Em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa:
em geral — portanto não podemos trocar a ordem dos fatores. - Podemos fatorar um escalar ou uma matriz que fique em mesma posição relativa em todos os termos (por exemplo, fatorar
à esquerda se todos os termos o tiverem à esquerda).
Passo 2
Vamos expandir o primeiro termo usando distributividade à direita:
Explicação: multiplicar
pela soma
dá
. Multiplicar por escalar
pode ser colocada antes ou depois na multiplicação (por exemplo
).
Passo 3
Vamos expandir o terceiro termo
. Primeiro o escalar 3 sai da multiplicação:
Explicação:
, depois multiplica-se tudo por
.
Passo 4
Agora escrevemos a soma completa substituindo as expansões:
Passo 5
Agrupamos termos semelhantes (mesma ordem de multiplicação):
- Termos com
: e e também temos (este último não é exatamente do tipo simples, mas iremos mantê-lo separado). Primeiro combine os que têm exatamente :
- Termos com
: .
Portanto, juntando tudo:
Passo 6
Podemos apresentar a expressão em formas alternativas factorizadas úteis, lembrando que a ordem importa:
- Forma direta simplificada:
- Fatorando
à esquerda (todas as parcelas têm à esquerda):
- Outra forma usando a matriz identidade
para agrupar :
porque
. Aqui
é a matriz identidade de dimensão compatível.
Essas três formas são equivalentes; escolha a que for mais conveniente na prova.