Simplifique as seguintes expressões em que
e
representam matrizes.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
, onde
,
e
representam matrizes.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A expressão original é
. - Pressupõe-se que as dimensões de
, e são compatíveis para todas as multiplicações e somas que aparecem (caso contrário a expressão não estaria bem definida).
Passo 2
Usar a distributividade da multiplicação de matrizes à esquerda para expandir o primeiro termo. A propriedade que usamos é: para matrizes
,
,
com dimensões compatíveis vale
Aplicando com
e
obtemos
Passo 3
Substituir a expansão na expressão original. Assim
Aqui já temos tudo escrito como soma de dois termos que envolvem
e
.
Passo 4
Agrupar os termos que têm
à direita. Observe que
tem
como fator à direita em ambos. Pela distributividade à direita (isto é,
) podemos escrever
Passo 5
Substituindo o agrupamento obtemos uma forma mais compacta:
Esta já é uma boa simplificação: juntamos os termos semelhantes em relação ao fator
.
Passo 6
Podemos fatorar
à esquerda em
. Note que
onde
é a matriz identidade da ordem adequada. Essa fatoração usa a distributividade e a definição de
. Então
Passo 7
Agora usamos a distributividade à esquerda para fatorar
de toda a expressão original escrita em termos de
e de
. De fato, como
e o outro termo é
, temos
Essa é uma forma factorizada que mostra
como fator comum à esquerda.
Passo 8
Observação adicional (opcional): pode-se também usar a identidade de diferença de quadrados para
:
caso seja útil reescrever em termos desses fatores. Então outra forma equivalente é