Simplifique as seguintes expressões em que A, B e C representam matrizes.
A(3 B-C)+A^{3} C

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \,A(3B - C) + A^{3} C\,, onde A, B e C representam matrizes.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão original é \,A(3B - C) + A^{3} C\,.
  • Pressupõe-se que as dimensões de A, B e C são compatíveis para todas as multiplicações e somas que aparecem (caso contrário a expressão não estaria bem definida).

Passo 2

Usar a distributividade da multiplicação de matrizes à esquerda para expandir o primeiro termo. A propriedade que usamos é: para matrizes A, X, Y com dimensões compatíveis vale
A(X+Y)=AX+AY.
Aplicando com X=3B e Y=-C obtemos
A(3B-C)=3AB-AC.

Passo 3

Substituir a expansão na expressão original. Assim
A(3B-C)+A^{3}C = 3AB - AC + A^{3}C.
Aqui já temos tudo escrito como soma de dois termos que envolvem B e C.

Passo 4

Agrupar os termos que têm C à direita. Observe que -AC + A^{3}C tem C como fator à direita em ambos. Pela distributividade à direita (isto é, XZ - YZ = (X-Y)Z) podemos escrever
-AC + A^{3}C = (A^{3}-A)C.

Passo 5

Substituindo o agrupamento obtemos uma forma mais compacta:
3AB - AC + A^{3}C = 3AB + (A^{3}-A)C.
Esta já é uma boa simplificação: juntamos os termos semelhantes em relação ao fator C.

Passo 6

Podemos fatorar A à esquerda em A^{3}-A. Note que
A^{3}-A = A(A^{2}-I),
onde I é a matriz identidade da ordem adequada. Essa fatoração usa a distributividade e a definição de A^{3}=A\cdot A^{2}. Então
(A^{3}-A)C = A(A^{2}-I)C.

Passo 7

Agora usamos a distributividade à esquerda para fatorar A de toda a expressão original escrita em termos de 3AB e de A(A^{2}-I)C. De fato, como 3AB = A(3B) e o outro termo é A((A^{2}-I)C), temos
3AB + (A^{3}-A)C = A\bigl(3B + (A^{2}-I)C\bigr).
Essa é uma forma factorizada que mostra A como fator comum à esquerda.

Passo 8

Observação adicional (opcional): pode-se também usar a identidade de diferença de quadrados para A^{2}-I:
A^{2}-I=(A-I)(A+I),
caso seja útil reescrever em termos desses fatores. Então outra forma equivalente é
A\bigl(3B + (A-I)(A+I)C\bigr).

Resposta

A\bigl(3B + (A^{2}-I)C\bigr)

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