Se
e
são matrizes e
é quadrada, explique por que
também é quadrada.
Se
e
podem ambas ser calculadas, descreva os tamanhos de
e
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são matrizes e que o produto
é uma matriz quadrada.
As perguntas são:
As perguntas são:
- Por que isso implica que
também é uma matriz quadrada? - Se tanto
quanto podem ser calculados (isto é, ambos os produtos existem), quais são os tamanhos (dimensões) possíveis de e ?
Informações relevantes dadas:
- Existe o produto
. - O produto
é quadrado (tem mesmo número de linhas e colunas).
Passo 2
Vamos lembrar a regra básica de compatibilidade de dimensões para multiplicação de matrizes e a forma do resultado.
Se
tem dimensão
(ou seja,
linhas e
colunas) e
tem dimensão
, então:
- O produto
está definido (porque o número de colunas de é igual ao número de linhas de ), e -
tem dimensão .
Aqui eu usei variáveis genéricas
para os números de linhas/colunas; isso é padrão para raciocinar com dimensões.
Passo 3
Usando a notação do passo anterior, como
é quadrada temos que as dimensões de
satisfazem:
Portanto, a situação é:
-
é , -
é (porque ).
Agora verifiquemos
: multiplicamos uma matriz de dimensão
por uma de dimensão
. Pela regra de multiplicação, o produto
está definido e tem dimensão
Como
é quadrada, concluímos que
é quadrada. Isso responde a por que
também é quadrada: a igualdade das dimensões externas em
(linha de
igual coluna de
) força as dimensões de
a serem o “espelho” de
, fazendo com que
tenha dimensões
.
Passo 4
Observação importante e exemplo concreto (para fixar): mesmo que
seja quadrada,
e
podem ser retangulares. Por exemplo, tome
Então
tem dimensão
(quadrada) e
tem dimensão
(quadrada). Note que nem
nem
precisam ser quadradas individualmente.
Passo 5
Agora respondo de forma direta a segunda pergunta: se tanto
quanto
existem, quais são os tamanhos de
e
?
Para que ambos existam, devemos ter números compatíveis tanto para
quanto para
. Usando a notação anterior, isso implica:
-
tem dimensão , -
tem dimensão .
Em termos mais comuns: se
é
, então
deve ser
. Nesse caso:
-
tem dimensão (é quadrada), -
tem dimensão (também quadrada).
Resposta
Se
e
podem ambos ser calculados, então
tem dimensão
e
tem dimensão
; nesse caso
é
e
é
.