Se A e B são matrizes e A B é quadrada, explique por que B A também é quadrada.
Se A B e B A podem ambas ser calculadas, descreva os tamanhos de A e B.

Passo 1

O enunciado dá que A e B são matrizes e que o produto A B é uma matriz quadrada.
As perguntas são:
  1. Por que isso implica que B A também é uma matriz quadrada?
  2. Se tanto A B quanto B A podem ser calculados (isto é, ambos os produtos existem), quais são os tamanhos (dimensões) possíveis de A e B?
Informações relevantes dadas:
  • Existe o produto A B.
  • O produto A B é quadrado (tem mesmo número de linhas e colunas).

Passo 2

Vamos lembrar a regra básica de compatibilidade de dimensões para multiplicação de matrizes e a forma do resultado.
Se A tem dimensão r\times s (ou seja, r linhas e s colunas) e B tem dimensão s\times t, então:
  • O produto A B está definido (porque o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B), e
  • A B tem dimensão r\times t.
Aqui eu usei variáveis genéricas r,s,t para os números de linhas/colunas; isso é padrão para raciocinar com dimensões.

Passo 3

Usando a notação do passo anterior, como A B é quadrada temos que as dimensões de A B satisfazem:
r\times t \text{ é uma matriz quadrada} \quad\Longrightarrow\quad r=t.é
Portanto, a situação é:
  • A é r\times s,
  • B é s\times r (porque t=r).
Agora verifiquemos B A: multiplicamos uma matriz de dimensão s\times r por uma de dimensão r\times s. Pela regra de multiplicação, o produto B A está definido e tem dimensão
s\times s.
Como s\times s é quadrada, concluímos que B A é quadrada. Isso responde a por que B A também é quadrada: a igualdade das dimensões externas em A B (linha de A igual coluna de B) força as dimensões de B a serem o “espelho” de A, fazendo com que B A tenha dimensões s\times s.

Passo 4

Observação importante e exemplo concreto (para fixar): mesmo que A B seja quadrada, A e B podem ser retangulares. Por exemplo, tome
A \text{ de dimensão } 2\times 3,\qquad B \text{ de dimensão } 3\times 2.ãã
Então A B tem dimensão 2\times 2 (quadrada) e B A tem dimensão 3\times 3 (quadrada). Note que nem A nem B precisam ser quadradas individualmente.

Passo 5

Agora respondo de forma direta a segunda pergunta: se tanto A B quanto B A existem, quais são os tamanhos de A e B?
Para que ambos existam, devemos ter números compatíveis tanto para A B quanto para B A. Usando a notação anterior, isso implica:
  • A tem dimensão r\times s,
  • B tem dimensão s\times r.
Em termos mais comuns: se A é m\times n, então B deve ser n\times m. Nesse caso:
  • A B tem dimensão m\times m (é quadrada),
  • B A tem dimensão n\times n (também quadrada).

Resposta

B A é quadrada porque, escrevendo A como r\times s e B como s\times r (o que ocorre quando A B é quadrada), o produto B A tem dimensão s\times s, ou seja, é quadrado.
Se A B e B A podem ambos ser calculados, então A tem dimensão m\times n e B tem dimensão n\times m; nesse caso A B é m\times m e B A é n\times n.

Exercícios relacionados