Simplifique as seguintes expressões usando os teoremas da Álgebra de Boole:
\mathrm{x}=(\mathrm{M}+\mathrm{N})(\mathrm{M}+\mathrm{P})(\mathrm{N}+\mathrm{P})

Passo 1

O enunciado dá a expressão booleana
\mathrm{x}=(\mathrm{M}+\mathrm{N})(\mathrm{M}+\mathrm{P})(\mathrm{N}+\mathrm{P})
e pede que a gente a simplifique usando teoremas da Álgebra de Boole. As informações relevantes que temos são exatamente essa expressão e que as operações são as usuais: + = OR, multiplicação sem símbolo = AND, e as variáveis \mathrm{M},\mathrm{N},\mathrm{P} são booleanas (valores 0 ou 1). O objetivo é obter uma forma mais simples equivalente.

Passo 2

Vou listar e explicar os teoremas/fatos que vou usar (com linguagem simples e um mini-exemplo para cada um):
  • Distributiva: (A+B)C = AC + BC e A(B+C)=AB+AC. Aqui A,B,C são variáveis booleanas; é a mesma ideia da distributiva na álgebra normal.
  • Absorção / Identidade do tipo X(X+Y)=X. Ex.: A(A+B)=A. Intuição: se A já é 1, o lado direito é 1; se A é 0, A(A+B)=0.
  • Consenso/Redução: (A+B)(A+C)=A + BC. Pode ser provado aplicando distributiva e absorção; é muito útil para reduzir produtos de somas.
  • Idempotência: X+X=X e XX=X. Ex.: A+A=A, A\cdot A=A.
Vou aplicar esses resultados passo a passo na expressão dada.

Passo 3

Primeiro simplifico os dois primeiros fatores (\mathrm{M}+\mathrm{N})(\mathrm{M}+\mathrm{P}). Usando o teorema do consenso/absorção
(\mathrm{M}+\mathrm{N})(\mathrm{M}+\mathrm{P})=\mathrm{M} + \mathrm{N}\mathrm{P}.
Explicação rápida do porquê: aplicando distributiva,
(\mathrm{M}+\mathrm{N})(\mathrm{M}+\mathrm{P})=\mathrm{M}\mathrm{M}+\mathrm{M}\mathrm{P}+\mathrm{N}\mathrm{M}+\mathrm{N}\mathrm{P}.
Agora usando idempotência \mathrm{M}\mathrm{M}=\mathrm{M} e comutatividade/associatividade para agrupar \mathrm{M}\mathrm{P}+\mathrm{N}\mathrm{M}=\mathrm{M}(\mathrm{P}+\mathrm{N}). Mas \mathrm{M}(\mathrm{P}+\mathrm{N})+\mathrm{M}=\mathrm{M} por absorção ( \mathrm{M}+\mathrm{M}Y=\mathrm{M}). Assim sobra \mathrm{M}+\mathrm{N}\mathrm{P}. (Esta é exatamente a forma compacta do passo anterior.)

Passo 4

Agora substituo esse resultado de volta na expressão original:
\mathrm{x}=(\mathrm{M}+\mathrm{N})(\mathrm{M}+\mathrm{P})(\mathrm{N}+\mathrm{P})=(\mathrm{M}+\mathrm{N}\mathrm{P})(\mathrm{N}+\mathrm{P}).

Passo 5

Aplico a distributiva para multiplicar (\mathrm{M}+\mathrm{N}\mathrm{P})(\mathrm{N}+\mathrm{P}):
(\mathrm{M}+\mathrm{N}\mathrm{P})(\mathrm{N}+\mathrm{P})=\mathrm{M}(\mathrm{N}+\mathrm{P})+\mathrm{N}\mathrm{P}(\mathrm{N}+\mathrm{P}).

Passo 6

Simplifico cada termo:
  • Pela distributiva, \mathrm{M}(\mathrm{N}+\mathrm{P})=\mathrm{M}\mathrm{N}+\mathrm{M}\mathrm{P}.
  • Para \mathrm{N}\mathrm{P}(\mathrm{N}+\mathrm{P}) uso a absorção do tipo X(X+Y)=X com X=\mathrm{N}\mathrm{P}: então \mathrm{N}\mathrm{P}(\mathrm{N}+\mathrm{P})=\mathrm{N}\mathrm{P}.
Portanto, somando os termos,
\mathrm{x}=\mathrm{M}\mathrm{N}+\mathrm{M}\mathrm{P}+\mathrm{N}\mathrm{P}.

Passo 7

Verificação rápida de que não dá para reduzir mais: os três termos \mathrm{M}\mathrm{N}, \mathrm{M}\mathrm{P} e \mathrm{N}\mathrm{P} não são absorvidos uns pelos outros nem têm fatores comuns que permitam uma simplificação booleana adicional sem aumentar o número de termos. Assim a forma obtida é a forma simplificada.

Resposta

\mathrm{MN}+\mathrm{MP}+\mathrm{NP}

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