Simplifique as seguintes expressões usando os teoremas da Álgebra de Boole:
Passo 1
O enunciado dá a expressão booleana
e pede que a gente a simplifique usando teoremas da Álgebra de Boole. As informações relevantes que temos são exatamente essa expressão e que as operações são as usuais:
= OR, multiplicação sem símbolo = AND, e as variáveis
são booleanas (valores 0 ou 1). O objetivo é obter uma forma mais simples equivalente.
Passo 2
Vou listar e explicar os teoremas/fatos que vou usar (com linguagem simples e um mini-exemplo para cada um):
- Distributiva:
e . Aqui são variáveis booleanas; é a mesma ideia da distributiva na álgebra normal. - Absorção / Identidade do tipo
. Ex.: . Intuição: se já é 1, o lado direito é 1; se é 0, . - Consenso/Redução:
. Pode ser provado aplicando distributiva e absorção; é muito útil para reduzir produtos de somas. - Idempotência:
e . Ex.: , .
Vou aplicar esses resultados passo a passo na expressão dada.
Passo 3
Primeiro simplifico os dois primeiros fatores
. Usando o teorema do consenso/absorção
Explicação rápida do porquê: aplicando distributiva,
Agora usando idempotência
e comutatividade/associatividade para agrupar
. Mas
por absorção (
). Assim sobra
. (Esta é exatamente a forma compacta do passo anterior.)
Passo 4
Agora substituo esse resultado de volta na expressão original:
Passo 5
Aplico a distributiva para multiplicar
:
Passo 6
Simplifico cada termo:
- Pela distributiva,
. - Para
uso a absorção do tipo com : então .
Portanto, somando os termos,
Passo 7
Verificação rápida de que não dá para reduzir mais: os três termos
,
e
não são absorvidos uns pelos outros nem têm fatores comuns que permitam uma simplificação booleana adicional sem aumentar o número de termos. Assim a forma obtida é a forma simplificada.