Simplifique as seguintes expressões usando os teoremas da Álgebra de Boole:
\mathrm{z}=\mathrm{ABC}+\mathrm{ABC}+\mathrm{BCD}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão lógica dada. As informações fornecidas são os termos que compõem a função z:
z = ABC + ABC + BCD.
As perguntas implícitas: reduzir essa expressão ao menor número possível de termos/literais usando as propriedades (teoremas) da álgebra booleana.

Passo 2

Usar a lei idempotente (ou redundância) da álgebra booleana. A lei diz que, para qualquer expressão booleana X,
X + X = X.
Aqui podemos identificar X = ABC. Aplicando a lei idempotente ao par de termos idênticos \,ABC + ABC,
ABC + ABC = ABC.
Portanto a expressão se reduz para
z = ABC + BCD.

Passo 3

Observar que os dois termos agora têm um fator comum BC. Escrevendo cada termo destacando esse fator:
ABC = (BC)A,\qquad BCD = (BC)D.
Aplicar a propriedade distributiva (fator comum): para quaisquer x,y,z vale
xy + xz = x(y+z).
Aqui x = BC, y = A e z = D. Assim,
ABC + BCD = BC\,(A + D).

Passo 4

Explicar por que não se pode reduzir mais sem informação adicional: a soma A + D só pode ser simplificada se houver alguma relação extra entre A e D (por exemplo, se um for sempre 1 ou se um implicar o outro). Sem essa informação, A + D é irreduzível. Também verificar que outras leis (absorção, consenso, complemento) não dão redução adicional neste caso específico.

Passo 5

Pequena verificação numérica para ganhar confiança (valores booleanos 0/1):
  • Se \,A=1,B=1,C=1,D=0: original \,z=1\cdot1\cdot1 + 1\cdot1\cdot1 + 1\cdot1\cdot0 = 1; simplificada \,BC(A+D)=1\cdot1(1+0)=1.
  • Se \,A=0,B=1,C=1,D=1: original \,z=0+0+1=1; simplificada \,1\cdot1(0+1)=1.
    Esses testes confirmam a equivalência em casos concretos.

Resposta

z = BC\,(A + D)

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