Simplifique cada uma das seguintes expressões usando os teoremas de DeMorgan. \overline{\overline{\mathrm{A}} \mathrm{B} \overline{\mathrm{C}}}
Passo 1
O enunciado dá a expressão a ser simplificada:
\overline{\overline{A} B \overline{C}}
e pede para simplificá-la usando os teoremas de DeMorgan. As informações relevantes que temos são somente essa expressão e a instrução de usar DeMorgan.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar e entender os teoremas de DeMorgan (em álgebra booleana) de forma bem direta e prática:
A negação de uma conjunção (AND) é a disjunção (OR) das negações:
\overline{X Y} = \overline{X} + \overline{Y}.
A negação de uma disjunção (OR) é a conjunção (AND) das negações:
\overline{X + Y} = \overline{X}\,\overline{Y}.
Aqui: \overline{(\cdot)} é NOT (complemento), a justaposição XY representa AND, e + representa OR. Essas fórmulas dizem, em palavras, que “não (X e Y)” é equivalente a “(não X) ou (não Y)”, e vice-versa para “não (X ou Y)”.
Passo 3
As leis de DeMorgan se estendem a mais de dois termos por iteração. Por exemplo, para três variáveis X,Y,Z podemos aplicar a lei aos pares passo a passo:
Ou seja, a negação de um produto de três termos é a soma das negações dos três termos.
Passo 4
Agora aplico essa generalização ao nosso caso. Identifico os três fatores do produto como
X=\overline{A},\qquad Y=B,\qquad Z=\overline{C}.
Aplicando a forma para três termos:
\overline{\overline{A} B \overline{C}} = \overline{\overline{A}} + \overline{B} + \overline{\overline{C}}.
Passo 5
Usamos a lei da dupla negação, que diz que a negação da negação devolve a variável original:
\overline{\overline{A}} = A,\qquad \overline{\overline{C}} = C.
Substituindo na expressão do passo anterior obtemos
\overline{\overline{A} B \overline{C}} = A + \overline{B} + C.
Como + (OR) é comutativo, a ordem dos termos não importa; essa é a forma simplificada final. Não há simplificação adicional possível sem relações extras entre A,B,C.