Simplifique as seguintes frações algébricas:
\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}-b^{2}}=

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica \frac{(a-b)^{2}}{a^{2}-b^{2}}.
Informações dadas: a expressão numérica da fração é \frac{(a-b)^{2}}{a^{2}-b^{2}}.
O que devemos devolver: a forma mais simples equivalente à expressão, indicando quando a simplificação é válida (ou seja, quais valores de a e b devemos excluir para evitar divisão por zero).

Passo 2

Vamos lembrar e aprender um fatoramento importantíssimo: diferença de quadrados. A fórmula é
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Explicando: se você multiplicar (x-y) por (x+y) e desenvolver, tem
(x-y)(x+y)=x^{2}+xy-xy-y^{2}=x^{2}-y^{2},
onde os termos +xy e -xy se cancelam. Aqui x e y são variáveis quaisquer; no nosso problema substituímos x por a e y por b.

Passo 3

Aplicando a fórmula da diferença de quadrados ao denominador a^{2}-b^{2}, obtemos
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Portanto a fração original pode ser reescrita como
\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}-b^{2}}=\frac{(a-b)^{2}}{(a-b)(a+b)}.

Passo 4

Agora fazemos a simplificação por cancelamento de fator comum. Repare que o numerador tem um fator (a-b) ao quadrado, e o denominador tem um fator (a-b). Podemos “cortar” um desses fatores, desde que esse fator não seja zero (ou seja, desde que a-b\neq 0). Após cancelar um (a-b), ficamos com
\frac{(a-b)^{2}}{(a-b)(a+b)}=\frac{a-b}{a+b},
mas é crucial anotar a condição para o cancelamento: só podemos cancelar quando (a-b)\neq 0.

Passo 5

Devemos também lembrar que a expressão original está indefinida sempre que o denominador é zero, isto é, quando
a^{2}-b^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad a=\pm b.
Portanto a simplificação \frac{a-b}{a+b} só representa corretamente a mesma função da fração original quando excluímos os valores que anulam o denominador original. Em resumo, a igualdade
\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}-b^{2}}=\frac{a-b}{a+b}
vale para todos os pares (a,b) tais que a\neq b e a\neq -b; ou de forma compacta a\neq\pm b.

Passo 6

Vamos checar com um exemplo numérico rápido para ganhar confiança. Tome a=3 e b=1:
\frac{(3-1)^{2}}{3^{2}-1^{2}}=\frac{4}{9-1}=\frac{4}{8}=\tfrac{1}{2}.
E usando a forma simplificada,
\frac{3-1}{3+1}=\frac{2}{4}=\tfrac{1}{2},
concorda. Se tentarmos a=b=1, a expressão original dá 0/0 (indeterminação), por isso devemos excluir a=b.

Resposta

\dfrac{a-b}{a+b},\; a\neq\pm b

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