Simplifique as seguintes frações algébricas:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
.
Informações dadas: a expressão numérica da fração é .
O que devemos devolver: a forma mais simples equivalente à expressão, indicando quando a simplificação é válida (ou seja, quais valores de e
devemos excluir para evitar divisão por zero).
Informações dadas: a expressão numérica da fração é
O que devemos devolver: a forma mais simples equivalente à expressão, indicando quando a simplificação é válida (ou seja, quais valores de
Passo 2
Vamos lembrar e aprender um fatoramento importantíssimo: diferença de quadrados. A fórmula é
Explicando: se você multiplicar
por
e desenvolver, tem
onde os termos
e
se cancelam. Aqui
e
são variáveis quaisquer; no nosso problema substituímos
por
e
por
.
Passo 3
Aplicando a fórmula da diferença de quadrados ao denominador
, obtemos
Portanto a fração original pode ser reescrita como
Passo 4
Agora fazemos a simplificação por cancelamento de fator comum. Repare que o numerador tem um fator
ao quadrado, e o denominador tem um fator
. Podemos “cortar” um desses fatores, desde que esse fator não seja zero (ou seja, desde que
). Após cancelar um
, ficamos com
mas é crucial anotar a condição para o cancelamento: só podemos cancelar quando
.
Passo 5
Devemos também lembrar que a expressão original está indefinida sempre que o denominador é zero, isto é, quando
Portanto a simplificação
só representa corretamente a mesma função da fração original quando excluímos os valores que anulam o denominador original. Em resumo, a igualdade
vale para todos os pares
tais que
e
; ou de forma compacta
.
Passo 6
Vamos checar com um exemplo numérico rápido para ganhar confiança. Tome
e
:
E usando a forma simplificada,
concorda. Se tentarmos
, a expressão original dá
(indeterminação), por isso devemos excluir
.