Simplifique as seguintes frações algébricas:
\frac{a^{3}+3 a^{2}}{a^{2}-9}=

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
\frac{a^{3}+3a^{2}}{a^{2}-9}.
Informações dadas: a expressão numerador é \,a^{3}+3a^{2}\, e o denominador é \,a^{2}-9\,. Não foram dadas restrições explícitas sobre \,a\, no enunciado, portanto devemos lembrar que não podemos permitir valores que zerem o denominador original.

Passo 2

Vamos olhar o numerador e tentar factorá‑lo por fator comum. O numerador é
a^{3}+3a^{2}.
Para factorar por fator comum, identificamos o maior monômio que divide ambos os termos. Aqui ambos os termos contêm a^{2}. Ao retirar a^{2} do numerador obtemos:
a^{3}+3a^{2}=a^{2}\,(a+3).
Explicação didática: factorização por fator comum significa escrever algo do tipo xy+ xz = x(y+z). Um exemplo simples: 6x^{2}+3x=3x(2x+1).

Passo 3

Agora factoramos o denominador. O denominador é
a^{2}-9.
Esse é um caso clássico chamado “diferença de quadrados”. A fórmula é
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Aplicando com x=a e y=3, obtemos:
a^{2}-9=(a-3)(a+3).
Exemplo ilustrativo: x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 4

Substituindo as factorações no quociente, reescrevemos a fração como
\frac{a^{2}(a+3)}{(a-3)(a+3)}.

Passo 5

Observamos que (a+3) aparece tanto no numerador quanto no denominador. Podemos simplificar (cancelar) esse fator, desde que ele não seja zero. A simplificação algébrica resulta em
\frac{a^{2}}{a-3},
mas devemos anotar as restrições de domínio: originalmente o denominador era (a-3)(a+3), portanto os valores que anulam o denominador original são a=3 e a=-3. Assim a igualdade após simplificação vale para todos os a exceto esses dois valores.
Importante didático: cancelar fatores é permitido apenas se o fator cancelado for diferente de zero; por isso não podemos incluir a=-3 entre os valores válidos mesmo que o fator (a+3) tenha sido cancelado.

Passo 6

Verificação rápida: escolha um valor permitido, por exemplo a=0. No original,
\frac{0^{3}+3\cdot 0^{2}}{0^{2}-9}=\frac{0}{-9}=0.
Na forma simplificada,
\frac{0^{2}}{0-3}=0,
concorda. Se escolhesse a=3 ou a=-3, o original estaria indefinido porque o denominador seria zero — por isso esses valores ficam excluídos.

Resposta

\displaystyle \frac{a^{2}}{a-3},\;a\neq 3,-3

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