Simplify each of the following expressions:
.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações relevantes dadas:
- Há um fator
(delta de Dirac centrado em ). - Os outros fatores são a função
A tarefa é simplificar o produto
.
Passo 2
Propriedade fundamental que vou usar (explicada de forma direta): se
é contínua em
, então, como distribuições,
Intuição rápida: o delta “pega” o valor da função no ponto
; formalmente, para qualquer função teste
,
Então podemos substituir
por
multiplicando
.
Passo 3
Aplicando a propriedade com
e
, obtemos
Isto já é uma forma simplificada: substituí
por
em todos os fatores contínuos.
Passo 4
Agora, sobre o valor numérico de
: há duas convenções comuns para
. Vou apresentar as duas e o resultado em cada caso (para que fique claro qual usar na prova):
Convenção A (mais comum em cálculo/engenharia básica):
Nesse caso
portanto o produto fica
Ou seja, para essa definição, a expressão simplifica-se para
.
Passo 5
Convenção B (normalizada, usada em processamento de sinais):
Nesse caso
e a simplificação é
Não há simplificação numérica adicional a não ser avaliar
, que não é zero nem uma forma simples.
Resposta
Se
Se