Simplify each of the following expressions:
\left(t^{2}+1\right)^{4} e^{-t} \operatorname{sinc}(t) \delta(t-\pi).

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\left(t^{2}+1\right)^{4} e^{-t} \operatorname{sinc}(t) \delta(t-\pi).
Informações relevantes dadas:
  • Há um fator \delta(t-\pi) (delta de Dirac centrado em t=\pi).
  • Os outros fatores são a função
f(t)=\left(t^{2}+1\right)^{4} e^{-t} \operatorname{sinc}(t).
A tarefa é simplificar o produto f(t)\,\delta(t-\pi).

Passo 2

Propriedade fundamental que vou usar (explicada de forma direta): se f é contínua em t=a, então, como distribuições,
f(t)\,\delta(t-a)=f(a)\,\delta(t-a).
Intuição rápida: o delta “pega” o valor da função no ponto a; formalmente, para qualquer função teste \varphi,
\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\delta(t-a)\,\varphi(t)\,dt = f(a)\,\varphi(a) = \int_{-\infty}^{\infty} f(a)\,\delta(t-a)\,\varphi(t)\,dt.
Então podemos substituir f(t) por f(a) multiplicando \delta(t-a).

Passo 3

Aplicando a propriedade com a=\pi e f(t)=\left(t^{2}+1\right)^{4} e^{-t} \operatorname{sinc}(t), obtemos
\left(t^{2}+1\right)^{4} e^{-t} \operatorname{sinc}(t)\,\delta(t-\pi) = \left(\pi^{2}+1\right)^{4} e^{-\pi}\,\operatorname{sinc}(\pi)\,\delta(t-\pi).
Isto já é uma forma simplificada: substituí t por \pi em todos os fatores contínuos.

Passo 4

Agora, sobre o valor numérico de \operatorname{sinc}(\pi): há duas convenções comuns para \operatorname{sinc}. Vou apresentar as duas e o resultado em cada caso (para que fique claro qual usar na prova):
Convenção A (mais comum em cálculo/engenharia básica):
\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin t}{t}.
Nesse caso
\operatorname{sinc}(\pi)=\frac{\sin\pi}{\pi}=0,
portanto o produto fica
0\quad(\text{a distribuição nula}).çã
Ou seja, para essa definição, a expressão simplifica-se para 0.

Passo 5

Convenção B (normalizada, usada em processamento de sinais):
\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}.
Nesse caso
\operatorname{sinc}(\pi)=\frac{\sin(\pi^2)}{\pi^2},
e a simplificação é
\left(\pi^{2}+1\right)^{4} e^{-\pi}\,\frac{\sin(\pi^{2})}{\pi^{2}}\,\delta(t-\pi).
Não há simplificação numérica adicional a não ser avaliar \sin(\pi^{2}), que não é zero nem uma forma simples.

Resposta

\left(\pi^{2}+1\right)^{4} e^{-\pi}\,\operatorname{sinc}(\pi)\,\delta(t-\pi)
Se \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin t}{t}: 0
Se \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t}: \left(\pi^{2}+1\right)^{4} e^{-\pi}\dfrac{\sin(\pi^{2})}{\pi^{2}}\,\delta(t-\pi)

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