Determine whether each function x given below is even, odd, or neither even nor odd.
x(t)=e^{-t^{2}} \cos (t).

Passo 1

O enunciado dá a função x(t)=e^{-t^{2}}\cos(t) e pede para determinar se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Informações fornecidas:
  • A função é x(t)=e^{-t^{2}}\cos(t).
    O que é pedido:
  • Identificar se x(t) é par (ou seja, x(-t)=x(t)), ímpar (ou seja, x(-t)=-x(t)) ou nenhuma das duas.

Passo 2

Relembrando as definições (isso é importante para a prova; decora e usa direto):
  • Uma função f é par se, para todo t no domínio, valer \,f(-t)=f(t)\,.
  • Uma função f é ímpar se, para todo t no domínio, valer \,f(-t)=-f(t)\,.
    Estratégia prática: calcular x(-t) e comparar com x(t) e com -x(t). Se coincidir com x(t) é par; se coincidir com -x(t) é ímpar; se não coincidir com nenhum dos dois, é nenhuma.

Passo 3

Calcular x(-t) diretamente, substituindo -t no lugar de t:
x(-t)=e^{-(-t)^{2}}\cos(-t).
Agora simplificar cada fator separadamente:
  • (-t)^{2}=t^{2}, então e^{-(-t)^{2}}=e^{-t^{2}}.
  • A função cosseno é par: \cos(-t)=\cos(t).

Passo 4

Usando as simplificações do passo anterior obtemos
x(-t)=e^{-t^{2}}\cos(t).
Comparando com a expressão original \,x(t)=e^{-t^{2}}\cos(t)\,, vemos que
x(-t)=x(t).
Portanto a igualdade da definição de função par é satisfeita para todo t do domínio.

Passo 5

Verificação adicional (útil na prova para não errar): testar se poderia ser ímpar. Para ser ímpar precisaríamos ter x(-t)=-x(t). Mas já vimos que x(-t)=x(t). A única maneira de ter simultaneamente x(-t)=x(t) e x(-t)=-x(t) é x(t)\equiv0, o que não é o caso aqui (exceto em pontos isolados). Logo a função não é ímpar, é par.
Observação útil: também se pode concluir rapidamente por propriedades: e^{-t^{2}} é par (porque depende de t^{2}) e \cos(t) é par; o produto de duas funções pares é par. Isso dá o mesmo resultado de forma mais rápida na prova.

Resposta

Par

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