Determine whether each function
given below is even, odd, or neither even nor odd.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
.
O que é pedido: - Identificar se
é par (ou seja, ), ímpar (ou seja, ) ou nenhuma das duas.
Passo 2
Relembrando as definições (isso é importante para a prova; decora e usa direto):
- Uma função
é par se, para todo no domínio, valer . - Uma função
é ímpar se, para todo no domínio, valer .
Estratégia prática: calculare comparar com e com . Se coincidir com é par; se coincidir com é ímpar; se não coincidir com nenhum dos dois, é nenhuma.
Passo 3
Calcular
diretamente, substituindo
no lugar de
:
Agora simplificar cada fator separadamente:
-
, então . - A função cosseno é par:
.
Passo 4
Usando as simplificações do passo anterior obtemos
Comparando com a expressão original
, vemos que
Portanto a igualdade da definição de função par é satisfeita para todo
do domínio.
Passo 5
Verificação adicional (útil na prova para não errar): testar se poderia ser ímpar. Para ser ímpar precisaríamos ter
. Mas já vimos que
. A única maneira de ter simultaneamente
e
é
, o que não é o caso aqui (exceto em pontos isolados). Logo a função não é ímpar, é par.
Observação útil: também se pode concluir rapidamente por propriedades:
é par (porque depende de
) e
é par; o produto de duas funções pares é par. Isso dá o mesmo resultado de forma mais rápida na prova.
Resposta
Par