Simplify each of the following expressions:
;
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a integral com parâmetro
- Pergunta: simplificar essa expressão — ou seja, avaliar a integral em função de
.
Passo 2
Entendendo a função delta de Dirac e a propriedade fundamental (propriedade de “peneiração” ou sifting).
- A função
é uma distribuição que concentra toda a “massa” em um único ponto. A propriedade que vamos usar é a seguinte: para qualquer função contínua ,
Isto significa que a integral “puxa” o valor de
no ponto
.
- Para integrais em intervalos não infinitos, a regra é análoga: se
está estritamente dentro do intervalo de integração então a integral vale ; se está estritamente fora, a integral vale .
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso integrando.
- Aqui
e o impulso está em . Pelo sifting, se o ponto estiver dentro do intervalo de integração, a integral vale . Calculando
- Se o ponto
estiver fora do intervalo , então a integral vale .
Passo 4
Tratar o caso em que o ponto de massa
fica exatamente na fronteira do intervalo, isto é
.
- Existe uma convenção comum: a função
é tipicamente vista como limite de aproximações simétricas ao redor do ponto. Nessa visão, quando se integra exatamente a partir do ponto de descontinuidade (por exemplo ), fica-se com metade da massa, portanto
- Aplicando isso ao nosso caso, com o fator
, obtemos para , seguindo essa convenção. Importante: alguns textos usam convenções diferentes sobre massa em extremos; se o enunciado não especifica, a convenção “metade da massa no limite” é a mais comum.
Passo 5
Juntando tudo em uma expressão final, dependente de
.
- Para
: o ponto está dentro de , então a integral vale . - Para
: o ponto está fora de , então a integral vale . - Para
: pela convenção simétrica, a integral vale .