Simplify each of the following expressions:
\int_{t}^{\infty}\left(\tau^{2}+1\right) \delta(\tau-2) d \tau;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a integral com parâmetro t
\int_{t}^{\infty}\left(\tau^{2}+1\right)\delta(\tau-2)\,d\tau.
  • Pergunta: simplificar essa expressão — ou seja, avaliar a integral em função de t.

Passo 2

Entendendo a função delta de Dirac e a propriedade fundamental (propriedade de “peneiração” ou sifting).
  • A função \delta é uma distribuição que concentra toda a “massa” em um único ponto. A propriedade que vamos usar é a seguinte: para qualquer função contínua f,
\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,\delta(\tau-a)\,d\tau = f(a).
Isto significa que a integral “puxa” o valor de f no ponto \tau=a.
  • Para integrais em intervalos não infinitos, a regra é análoga: se a está estritamente dentro do intervalo de integração então a integral vale f(a); se a está estritamente fora, a integral vale 0.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso integrando.
  • Aqui f(\tau)=\tau^{2}+1 e o impulso está em a=2. Pelo sifting, se o ponto 2 estiver dentro do intervalo de integração, a integral vale f(2). Calculando
f(2)=2^{2}+1=4+1=5.
  • Se o ponto 2 estiver fora do intervalo [t,\infty), então a integral vale 0.

Passo 4

Tratar o caso em que o ponto de massa 2 fica exatamente na fronteira do intervalo, isto é t=2.
  • Existe uma convenção comum: a função \delta é tipicamente vista como limite de aproximações simétricas ao redor do ponto. Nessa visão, quando se integra exatamente a partir do ponto de descontinuidade (por exemplo \int_{2}^{\infty}\delta(\tau-2)\,d\tau), fica-se com metade da massa, portanto
\int_{2}^{\infty}\delta(\tau-2)\,d\tau=\tfrac{1}{2}.
  • Aplicando isso ao nosso caso, com o fator f(2)=5, obtemos \tfrac{5}{2} para t=2, seguindo essa convenção. Importante: alguns textos usam convenções diferentes sobre massa em extremos; se o enunciado não especifica, a convenção “metade da massa no limite” é a mais comum.

Passo 5

Juntando tudo em uma expressão final, dependente de t.
  • Para t<2: o ponto 2 está dentro de [t,\infty), então a integral vale 5.
  • Para t>2: o ponto 2 está fora de [t,\infty), então a integral vale 0.
  • Para t=2: pela convenção simétrica, a integral vale \tfrac{5}{2}.

Resposta

\int_{t}^{\infty}\left(\tau^{2}+1\right)\delta(\tau-2)\,d\tau= \begin{cases} 5, & t<2,\\[4pt] \dfrac{5}{2}, & t=2,\\[4pt] 0, & t>2. \end{cases}]

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